Analisi matematica I/Teoremi sulle successioni

Corollario

Dimostrazione

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che $b_n-a_n\to \mu -\lambda >0$ e per il Teorema della permanenza del segno anche $b_n-a_n>0,\mathrm{\forall }n>m$ e dunque $a_n<b_n$.

Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se

$\lambda >\mu$

avremmo, per il punto (i), che esiste un

$m\in \mathbb{N}$

tale che

$a_n>b_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.

$◻$

Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di

$c_n$

rimanga intrappolato tra i due "carabinieri"

$\lambda$

, cioè un qualcosa di tipo

$\begin{array}{ccccc}{a}_n& & c_n& & b_n\\ \downarrow & & & & \downarrow \\ \lambda & \Rightarrow & \downarrow & \Leftarrow & \lambda \\ & & \lambda & & \end{array}$

.

Dimostrazione

Per ipotesi $(a_n)$ e $(b_n)$ convergono a $\lambda$, dunque

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{m}^{\prime }\in \mathbb{N}:\lambda -\epsilon <a_n<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m^{\prime }$
$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{m}^{″}\in \mathbb{N}:\lambda -\epsilon <b_n<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m^{″}$

Se $n>\max \{m^{\prime },m^{″}\}$, si ha che $\lambda -\epsilon <a_n\le b_n<\lambda +\epsilon$, ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i $c_n$ e vale per tutti gli $n\in \mathbb{N}$.
Dunque $\lambda -\epsilon <a_n\le c_n\le b_n<\lambda +\epsilon$ e posto $m=\max \{m^{\prime },m^{″}\}$ si ha

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:\lambda -\epsilon <c_n<\lambda +\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$

e dunque converge.

$◻$

Teorema del Carabiniere Isolato

Template:Riquadro Questo Teorema è molto simile a quello precedente, ma in questo caso la successione rimane intrappolata tra il "carabiniere" e un muro, rappresentato da $\pm \mathrm{\infty }$, oltre il quale non si può andare.

Bisogna però prestare attenzione ad usare il teorema nel verso giusto, infatti supponendo che

$a_n\le b_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

se abbiamo

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=-\mathrm{\infty }$

nulla si può dire del limite di

$(b_n)$

e viceversa se

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty }$

, nulla si può dire del limite di

$(a_n)$

.

$◻$

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

Dimostrazione

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=+\mathrm{\infty }\iff \mathrm{\forall }k\in ℝ\mathrm{\exists }m\in \mathbb{N}:a_n>k,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>m$.
Se $b_n\ge a_n$ per tutti gli $n\in \mathbb{N}$ e $a_n>k$ sempre per tutti gli $n$, certamente anche ogni $b_n$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+\mathrm{\infty }$.

In modo identico si prova la seconda affermazione.

$◻$

Successioni limitate

Sia $(a_n)$ una successione reale. Diciamo che $(a_n)$ è

• superiormente limitata se $\mathrm{\exists }m\in ℝ:a_n\le m,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
• inferiormente limitata se $\mathrm{\exists }m\in ℝ:m\le a_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che $(a_n)$ è limitata se e solo se $|a_n|\le m,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, cioè se e solo se $-m\le a_n\le m\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

Dimostrazione

Prendiamo in esame una generica successione $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che $a_n\to A\in ℝ$ quando $n\to +\mathrm{\infty }$, o scritto in modo più formale:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0$, $\mathrm{\exists }N(\epsilon )\in \mathbb{N}$ tale che $\mathrm{\forall }n>N$ si ha $|a_n-A|<\epsilon$

.

Detto questo:

$|a_n|=|a_n-A+A|\le |a_n-A|+|A|$ (disuguaglianza triangolare)

.

Per ipotesi possiamo trovare $N\in ℝ$ tale che $|a_n-A|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n>N$ pertanto:

$|a_n|<\epsilon +|A|,\mathrm{\forall }n>N$

possiamo concludere che

$|a_n|<M$ dove $M:=\max \{|a_1|,|a_2|,...,|a_N|,\epsilon +|A|\}$

$◻$

---

Chiamiamo infinitesima una successione $(a_n)$ convergente a $0$, cioè se $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n)=0$.

Proposizione

Template:Riquadro In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

Dimostrazione

Siccome $(b_n)$ è limitata per ipotesi, esiste un $m:|b_n|\le m,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Dunque $0\le |a_n{b}_n|\le m|a_n|,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Ma $(a_n)$ tende a $0$ e dunque anche $m|a_n|$ tende a $0$.

La successione

$|a_n{b}_n|$

è intrappolata tra due successioni che tendono a

$0$

dunque, per il Teorema dei carabinieri,

$|a_n{b}_n|\to 0$

e quindi è infinitesima.

$◻$

Successioni di Cauchy

Sia $(a_n)$ una successione reale. $(a_n)$ si dice che è una successione di Cauchy se

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-a_m|<\epsilon ,\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N},n,m>p$

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione

Dimostrazione

Sia $(a_n)$ convergente a $\lambda$. Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\epsilon ,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p$ (*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $\epsilon$ prendo $\frac{\epsilon }{2}$, tanto $\epsilon$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-\lambda |<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p$ (**)

Dunque

$|a_n-a_m|\le |a_n-\lambda |+|\lambda -a_m|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

ed infine

$|a_n-a_m|<\epsilon$

e questo prova la proposizione.

$◻$

Teorema (completezza sequenziale di $ℝ$)

Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\lambda \in ℝ$. Consideriamo una successione di Cauchy $(a_n)$. Abbiamo che $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }p\in \mathbb{N}:|a_n-a_m|<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p$.

Fissiamo ora un numero $k\in ℝ$ e otteniamo $|a_n-a_m|<k,\mathrm{\forall }n,m\in \mathbb{N},n,m>p$. Allora

$|a_n|\le |a_n-a_{p+1}|+|a_{p+1}|<k+|a_{p+1}|$

e dunque, per ogni $n$ si ha che

$|a_n|\le \max \{|a_1|,\dots ,|a_p|,k+|a_{p+1}|\}$

dunque $(a_n)$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a_n)$ $(a_{k_n})$ convergente a $\lambda \in ℝ$. Dunque $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{p}_1:|a_{k_n}-\lambda |<\frac{\epsilon }{2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n>p_1$. Poniamo poi $P=\max \{p,p_1\}$ e se $n>P$ (e dunque $k_n>P$ perché $k_n\ge P$) abbiamo

$|a_n-\lambda |\le |a_n-a_{k_n}|+|a_{k_n}-\lambda |<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$

Dunque

$(a_n)$

converge a

$\lambda$

.

$◻$