Analisi matematica I/Teoremi sulle successioni

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Corollario

Dimostrazione

Dimostriamo la prima implicazione. Per l'algebra delle successioni si ha che $b_{n} - a_{n} \to μ - λ > 0$ e per il Teorema della permanenza del segno anche $b_{n} - a_{n} > 0, \forall n > m$ e dunque $a_{n} < b_{n}$ .

Proviamo ora la seconda affermazione ragionando per assurdo. Se $λ > μ$ avremmo, per il punto (i), che esiste un $m \in ℕ$ tale che $a_{n} > b_{n}, \forall n \in ℕ, n > m$ ma questo contraddice l'ipotesi e l'asserto è così provato.

◻

Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

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Il Teorema si chiama anche "dei due carabinieri" non a caso; infatti intuitivamente è come se il limite di $c_{n}$ rimanga intrappolato tra i due "carabinieri" $λ$ , cioè un qualcosa di tipo

\begin{matrix} a_{n} & c_{n} & b_{n} \\ ↓ & ↓ \\ λ & \Rightarrow & ↓ & \Leftarrow & λ \\ λ \end{matrix}

.

Dimostrazione

Per ipotesi $(a_{n})$ e $(b_{n})$ convergono a $λ$ , dunque

\forall ε > 0 \exists m^{'} \in ℕ : λ - ε < a_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, n > m^{'}

\forall ε > 0 \exists m^{″} \in ℕ : λ - ε < b_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, n > m^{″}

Se $n > max {m^{'}, m^{″}}$ , si ha che $λ - ε < a_{n} \leq b_{n} < λ + ε$ , ma sappiamo che in mezzo alle due successioni ci sono i $c_{n}$ e vale per tutti gli $n \in ℕ$ .
Dunque $λ - ε < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < λ + ε$ e posto $m = max {m^{'}, m^{″}}$ si ha

\forall ε > 0 \exists m \in ℕ : λ - ε < c_{n} < λ + ε, \forall n \in ℕ, n > m

e dunque converge.

◻

Teorema del Carabiniere Isolato

Template:Riquadro Questo Teorema è molto simile a quello precedente, ma in questo caso la successione rimane intrappolata tra il "carabiniere" e un muro, rappresentato da $\pm \infty$ , oltre il quale non si può andare.

Bisogna però prestare attenzione ad usare il teorema nel verso giusto, infatti supponendo che $a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in ℕ$ se abbiamo $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ nulla si può dire del limite di $(b_{n})$ e viceversa se $lim_{n \to \infty} b_{n} = + \infty$ , nulla si può dire del limite di $(a_{n})$ .

◻

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

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Dimostrazione

$lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty \Leftrightarrow \forall k \in ℝ \exists m \in ℕ : a_{n} > k, \forall n \in ℕ, n > m$ .
Se $b_{n} \geq a_{n}$ per tutti gli $n \in ℕ$ e $a_{n} > k$ sempre per tutti gli $n$ , certamente anche ogni $b_{n}$ è maggiore di $k$ e dunque anch'essa tende a $+ \infty$ .

In modo identico si prova la seconda affermazione.

◻

Successioni limitate

Sia $(a_{n})$ una successione reale. Diciamo che $(a_{n})$ è

superiormente limitata se $\exists m \in ℝ : a_{n} \leq m, \forall n \in ℕ$
inferiormente limitata se $\exists m \in ℝ : m \leq a_{n}, \forall n \in ℕ$

Se la successione è sia inferiormente che superiormente limitata, essa si dice semplicemente limitata e notiamo che $(a_{n})$ è limitata se e solo se $| a_{n} | \leq m, \forall n \in ℕ$ , cioè se e solo se $- m \leq a_{n} \leq m \forall n \in ℕ$ .

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

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Dimostrazione

Prendiamo in esame una generica successione ${a_{n}}_{n \in ℕ}$ e supponiamo che essa risulti convergente, ciò implica che $a_{n} \to A \in ℝ$ quando $n \to + \infty$ , o scritto in modo più formale:

\forall ε > 0

,

\exists N (ε) \in ℕ

tale che

\forall n > N

si ha

| a_{n} - A | < ε

.

Detto questo:

| a_{n} | = | a_{n} - A + A | \leq | a_{n} - A | + | A |

(disuguaglianza triangolare)

.

Per ipotesi possiamo trovare $N \in ℝ$ tale che $| a_{n} - A | < ε, \forall n > N$ pertanto:

| a_{n} | < ε + | A |, \forall n > N

possiamo concludere che

| a_{n} | < M

dove

M := max {| a_{1} |, | a_{2} |, ..., | a_{N} |, ε + | A |}

◻

Chiamiamo infinitesima una successione $(a_{n})$ convergente a $0$ , cioè se $lim_{n \to \infty} (a_{n}) = 0$ .

Proposizione

Template:Riquadro In altri termini, il prodotto tra una successione infinitesima e un'altra limitata genere una successione infinitesima.

Dimostrazione

Siccome $(b_{n})$ è limitata per ipotesi, esiste un $m : | b_{n} | \leq m, \forall n \in ℕ$ . Dunque $0 \leq | a_{n} b_{n} | \leq m | a_{n} |, \forall n \in ℕ$ . Ma $(a_{n})$ tende a $0$ e dunque anche $m | a_{n} |$ tende a $0$ .

La successione $| a_{n} b_{n} |$ è intrappolata tra due successioni che tendono a $0$ dunque, per il Teorema dei carabinieri, $| a_{n} b_{n} | \to 0$ e quindi è infinitesima.

◻

Successioni di Cauchy

Sia $(a_{n})$ una successione reale. $(a_{n})$ si dice che è una successione di Cauchy se

\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - a_{m} | < ε, \forall n, m \in ℕ, n, m > p

In altri termini, una successione si dice di Cauchy se i suoi termini sono vicini tra loro quanto tanto si vuole, purché gli indici siano abbastanza grandi.

Proposizione

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Dimostrazione

Sia $(a_{n})$ convergente a $λ$ . Dunque, per la definizione di limite di una successione, si ha:

\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - λ | < ε, \forall n \in ℕ, n > p

(*)

Ora un trucchetto: se è vera la (*), allora varrà anche se al posto di $ε$ prendo $\frac{ε}{2}$ , tanto $ε$ è un numero del tutto arbitrario. Allora consideriamo ora

\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - λ | < \frac{ε}{2}, \forall n \in ℕ, n > p

(**)

Dunque

| a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} - λ | + | λ - a_{m} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

ed infine

| a_{n} - a_{m} | < ε

e questo prova la proposizione.

◻

Teorema (completezza sequenziale di $ℝ$ )

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Dimostrazione

Dobbiamo provare che esiste $lim_{n \to \infty} a_{n} = λ \in ℝ$ . Consideriamo una successione di Cauchy $(a_{n})$ . Abbiamo che $\forall ε > 0 \exists p \in ℕ : | a_{n} - a_{m} | < \frac{ε}{2}, \forall n \in ℕ, n > p$ .

Fissiamo ora un numero $k \in ℝ$ e otteniamo $| a_{n} - a_{m} | < k, \forall n, m \in ℕ, n, m > p$ . Allora

| a_{n} | \leq | a_{n} - a_{p + 1} | + | a_{p + 1} | < k + | a_{p + 1} |

e dunque, per ogni $n$ si ha che

| a_{n} | \leq max {| a_{1} |, \dots, | a_{p} |, k + | a_{p + 1} |}

dunque $(a_{n})$ è limitata e per il Teorema di Bolzano-Weierstrass, esiste una sottosuccessione di $(a_{n})$ $(a_{k_{n}})$ convergente a $λ \in ℝ$ . Dunque $\forall ε > 0 \exists p_{1} : | a_{k_{n}} - λ | < \frac{ε}{2}, \forall n \in ℕ, n > p_{1}$ . Poniamo poi $P = max {p, p_{1}}$ e se $n > P$ (e dunque $k_{n} > P$ perché $k_{n} \geq P$ ) abbiamo

| a_{n} - λ | \leq | a_{n} - a_{k_{n}} | + | a_{k_{n}} - λ | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Dunque $(a_{n})$ converge a $λ$ .

◻

Analisi matematica I/Teoremi sulle successioni

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Teorema (dei due carabinieri o del confronto)

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Teorema del Carabiniere Isolato

Teorema (del confronto per successioni divergenti)

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Successioni limitate

Teorema (limitatezza delle successioni convergenti)

Dimostrazione

Proposizione

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Successioni di Cauchy

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Teorema (completezza sequenziale di $ℝ$ )

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