Analisi vettoriale/Algebra vettoriale

Viene assunto che il lettore abbia una discreta conoscenza dell'algebra vettoriale, pertanto gli ricordiamo solamente alcune delle definizioni e formule fondamentali.

Prodotto scalare

Il prodotto scalare di due vettori

$𝐚=a_x𝐢+a_y𝐣+a_z𝐤$

$𝐛=b_x𝐢+b_y𝐣+b_z𝐤$

dove $𝐢$, $𝐣$, e $𝐤$ sono vettori unitari posti sugli assi coordinati x, y e z, uguaglia:

$𝐚𝐛=(𝐛𝐚)=abcos(𝐚,𝐛)=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale [$𝐚𝐛$] dei vettori $𝐚$ e $𝐛$ è un vettore perpendicolare ad $𝐚$ e $𝐛$ con modulo di valore assoluto uguale all'area del parallelogramma formato da questi vettori:

$[𝐚𝐛]=abcos(𝐚,𝐛)$

$[𝐚𝐛]=\left|\begin{array}{ccc}𝐢& 𝐣& 𝐤\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=(a_y{b}_z-a_z{b}_y)𝐢+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)𝐣+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)𝐤$

$[𝐚𝐛]=-[𝐛𝐚]$

La direzione del vettore $[𝐚𝐛]$ è determinata dal requisito che i vettori $𝐚$, $𝐛$ e $[𝐚𝐛]$ costituiscano un sistema destrorso.

Triplo prodotto scalare

Il triplo prodotto scalare di tre vettori $𝐚,𝐛e𝐜$ è uno scalare numericamente uguale al volume del parallelepipedo costituito da questi tre vettori:

$𝐚[𝐛𝐜]=𝐛[𝐜𝐚]=𝐜[𝐚𝐛]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|$

$𝐚[𝐛𝐜]=-𝐛[𝐚𝐜]=-𝐚[𝐜𝐛]$

Triplo prodotto vettoriale

$[𝐚[𝐛𝐜]]=𝐛(𝐚𝐜)-𝐜(𝐚𝐛)=-[[𝐛𝐜]𝐚]$

Se i vettori sono una funzione di una variabile scalare t, allora i vettori possono venire differenziati rispetto a questa variabile nel rispetto delle usuali condizioni. Qui, le seguenti relazioni si mantengono:

$\frac{d}{dt}(𝐚\mathbf{+}𝐛)=\frac{d𝐚}{dt}+\frac{d𝐛}{dt}$

$\frac{d}{dt}(\varphi 𝐚)=\varphi \frac{d𝐚}{dt}+\frac{d\varphi }{dt}𝐚$

$\frac{d}{dt}(𝐚𝐛)=(\frac{d𝐚}{dt}𝐛)+(𝐚\frac{d𝐛}{dt})etc.$