Aritmetica modulare/Esercizi

Template:Aritmetica modulare Di seguito sono presentati degli esercizi, con le rispettive soluzioni, divisi per capitoli.

Capitolo 1

<quiz display=simple> {Trovare: |type="{}"} 20 mod 3 = { 2_3 } 31 mod 4 = { 3_3 } 1895 mod 7 = { 5_3 } 43245 mod 13 = { 7_3 }

{Dire quali dei seguenti elementi sono invertibili: |type="[]"} - 4 (modulo 8) - 10 (modulo 14) + 12 (modulo 31) - 15 (modulo 35) + 8 (modulo 9) - 438 (modulo 15) </quiz>

Capitolo 2

• Dimostrare che se $b\equiv 1modd$ allora n è divisibile per d se e solo se lo è la somma delle sue cifre, quando n è scritto in base b.

<quiz display=simple> {Calcolare usando il piccolo teorema di Fermat o il teorema di Eulero: |type="{}"} $2^{75}mod5$ = { 3 _3 } $5^{89}mod7$ = { 3 _3 } $4^{90}mod11$ = { 1 _3 } $16^{96}mod13$ = { 1 _3 } $56681^{123432}mod13$ = { 1 _3 } $14^{54}mod10$ = { 6 _3 } $26^{32}mod12$ = { 4 _3 } $7^{19}mod15$ = { 13 _3 } $9^{9}mod6$ = { 3 _3 } </quiz>

Capitolo 3

<quiz display=simple> {Risolvere: |type="{}"} $2x\equiv 3mod5$ = { 4 } $3x\equiv 7mod8$ = { 5 } $6x\equiv 8mod9$ = { insolubile|impossibile|no } $21x\equiv 7mod28$ = { 3 mod 4 (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 mod 28) } $8x\equiv 7mod9$ = { 2 } $91x\equiv 991mod3$ = { 1 }

{Risolvere: |type="{}"} $\{\begin{array}{c}x\equiv 7mod9\\ x\equiv 3mod5\end{array}$ = { 43 mod 45 } $\{\begin{array}{c}x\equiv 2mod3\\ x\equiv 3mod4\\ x\equiv 4mod5\\ x\equiv 5mod6\end{array}$ = { 59 mod 60 }

{Risolvere: |type="{}"} $x^4+3x^2+7x+3mod21$ = { 6, 8, 15, 20 }

{Determinare tutti gli x tali che $\varphi (x)$ è dispari. |type="{}"} { 1, 2|1 e 2 } </quiz>

Capitolo 4

• Dimostrare, usando il solo teorema di Chevalley, che la congruenza

$x^2+y^2\equiv -1modp$

ha soluzione per ogni primo p. Template:Cassetto

• Trovare tutte le soluzioni della congruenza

$x^2+2y^2-z^2\equiv 0mod3$

Capitolo 5

<quiz display=simple> {Trovare l'ordine moltiplicativo di: |type="{}"} 6 mod 11 = { 10 } 14 mod 25 = { 10 } 13 mod 43 = { 21 } 2 mod 15 = { 4 } 3 mod 63 = { no|non esiste|nessuno|impossibile } </quiz>

• Sapendo che $2^9\equiv 1mod73$ e $10^8\equiv 1mod73$, trovare una radice primitiva modulo 73.

<quiz display=simple> {Trovare le radici primitive modulo 23. |type="{}"} { 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21 }

{Sapendo che 2 è una radice primitiva modulo 13, trovare una radice primitiva modulo 169. |type="{}"} { 2 } </quiz>

• Costruire una tavola di indici modulo 11 a partire dalla radice primitiva 2.

Capitolo 6

• Dimostrare che se a è una radice primitiva modulo un primo p congruo a 1 modulo 4 allora anche p-a è una radice primitiva modulo p.

<quiz display=simple> {Elencare i residui quadratici modulo 13. |type="{}"} { 1, 3, 4, 9, 10, 12 }

{Calcolare: |type="{}" $\left(\frac{-26}{73}\right)$ = { -1 } $\left(\frac{34}{97}\right)$ = { -1 } $\left(\frac{57}{113}\right)$ = { 1 } </quiz>

Capitolo 7

• Dimostrare che in ${\mathbb{Z}}_p$ ogni elemento è somma di al più due residui quadratici usando il teorema sull'esistenza di infiniti primi in ogni progressione aritmetica.