Calcoli scientifici con Julia/Mutui e prestiti

Trattazione matematica

Al tempo t=0 viene erogato un mutuo d'importo $M_0$ . Tale somma viene restituita con rate costanti di importo R pagate a partire dal tempo t=1 pertanto se si considera l'anno come unità di misura allora R è la rata annuale (conoscendo la rata mensile basta moltiplicarla per 12).

Indicando con r il tasso di interesse costante con il quale viene calcolato l'interesse su debito residuo $M_t$ si ha che:

$M_{t+1}=M_t+r{M}_t-R=(1+r)M_t-R$

Calcolando $M_1$ cioè il mutuo dopo 1 anno si ha:

$M_1=(1+r)M_0-R$

Calcolando $M_2$ cioè il mutuo dopo 2 anni si ha:

$M_2=(1+r)M_1-R=(1+r{)}^2{M}_0-R(1+r)-R$

Calcolando $M_3$ cioè il mutuo dopo 3 anni si ha:

$M_3=(1+r)M_2-R=(1+r{)}^3{M}_0-R(1+r{)}^2-R(1+r)-R$

Pertanto il mutuo al tempo t sarà:

$M_t=(1+r)M_{t-1}-R=(1+r{)}^t{M}_0-R(1+r{)}^{t-1}-....-R(1+r{)}^2-R(1+r)-R$

Posto:

$S_t=:-R(1+r{)}^{t-1}-....-R(1+r{)}^2-R(1+r)-R$

Riscriviamo $M_t$ come:

$M_t=(1+r{)}^t{M}_0+S_t$

Moltiplicando ambo i membri dell'equazione $S_t$ per $-(1+r)$ si ha:

$-(1+r)S_t=R(1+r{)}^t+....+R(1+r{)}^3+R(1+r{)}^2+R(1+r)$

Sommando membro a membro le 2 equazioni si ottiene:

$S_t-(1+r)S_t=R(1+r{)}^t-R$

Da cui si ricava:

$S_t=-\frac{R}{r}((1+r{)}^t-1)$

Allora il mutuo al tempo t risulta uguale a:

$M_t=(1+r{)}^t{M}_0+S_t=(1+r{)}^t(M_0-\frac{R}{r})+\frac{R}{r}$

Considerando la successione $M_t$ continua se ne può calcolare la derivata per vedere quando è crescente o decrescente. Pertanto risulta:

$\frac{d(M(t))}{dt}=(1+r{)}^{t}log(1+r)(M_0-\frac{R}{r})$

per cui la derivata è positiva e la funzione è crescente per $R<=M_{0}r$ e quindi in tal caso il mutuo non si estinguerebbe mai, mentre per $R>M_{0}r$ la derivata è negativa, la funzione è decrescente per cui dopo un certo tempo il mutuo si estingue.

Volendo calcolare dopo quanto tempo il mutuo si estingue bisogna imporre la condizione:

$M_t=(1+r{)}^t(M_0-\frac{R}{r})+\frac{R}{r}=0$

da cui si ottiene l'equazione esponenziale:

$(1+r{)}^{t_{*}}=\left(\frac{R}{R-M_{0}r}\right)$

pertanto passando ai logaritmi si ottiene che il tempo $t_{*}$ in corrispondenza del quale il mutuo si estingue è:

$t_{*}=\frac{\log \left(\frac{R}{R-M_{0}r}\right)}{\log (1+r)}$

mentre la rata annuale per estinguere il mutuo in un tempo annuale $t_{*}$ al tasso di interesse r è:

$R=\frac{M_{0}r{(r+1)}^{t_{*}}}{{(r+1)}^{t_{*}}-1}$

Esempio di calcolo con Julia

Calcolare la rata mensile di un mutuo di 100.000€ al tasso del 2% in 20 anni. Si ottiene una rata mensile di 505,88€ :

function rata_di_un_mutuo_o_prestito() 
           M=100000;
           t=20*12;
           r=0.02/12;
           print("La rata mensile di un mutuo o prestito di $M € in 20 anni con un tasso di interesse del 2% è:")
           println((M*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1))
        end

rata_di_un_mutuo_o_prestito()

La rata mensile di un mutuo o prestito di 100000 € in 20 anni con un tasso di interesse del 2% è:505.8833350451077

Calcolare gli anni necessari affinché un mutuo di 136.000€ al tasso del 3,5% con una rata mensile di 616€ si estingua. Si ottiene un tempo di 30 anni:

function tempo_di_estinzione_mutuo_o_prestito() 
           M=136000;
           R=616*12;
           r=0.035;
           print("Un mutuo o prestito di $M € con un tasso di interesse del 3,5% e una rata mensile di 616€ si estingue in anni:")
           println(log(R/(R-M*r))/log(1+r))
        end

tempo_di_estinzione_mutuo_o_prestito()

Un mutuo o prestito di 136000 € con un tasso di interesse del 3,5% e una rata mensile di 616€ si estingue in anni:30.017775988227683

Volendo infine calcolare il tasso di interesse annuo di un mutuo di 136.000€ con una rata mensile di 616€ per 30 anni, utilizzando la libreria Roots si ottiene un tasso pari a r=0,035 = 3,5%:

using Roots
M=136000;
R=616*12;
t=30;
y(r)=-R +(M*r*(1+r)^t) /((1+r)^t-1);
find_zero(y,0.1)

0.034973001159437175