Calcolo differenziale/Funzioni su spazi vettoriali

Differenziale su dominio vettoriale

Il concetto di differenziale può essere generalizzato a funzioni definite su spazi normati e aventi valori in spazi normati. Dati dunque due spazi vettoriali normati V e W definiti sullo stesso campo K e una funzione f avente dominio in V e codominio in W, si può definire per essa un differenziale df che sia un funzionale, ovvero che ad ogni vettore ${𝐱}_0$ di V associ una funzione lineare da V a W che approssimi l'incremento della funzione f a meno di un infinitesimo di ordine superiore:

$d𝐟:V\to \{\varphi |\varphi :V\to W\}$

$d𝐟:{𝐱}_0\mapsto df({𝐱}_0)$

$d𝐟({𝐱}_0):V\to W$

$d𝐟({𝐱}_0):\mathrm{\Delta }𝐱\mapsto df({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)$

tale che

$\mathrm{\Delta }𝐟({𝐱}_0,\mathrm{\Delta }𝐱)=d𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)+o(\Vert \mathrm{\Delta }𝐱\Vert )$

ovvero:

$𝐟({𝐱}_0+\mathrm{\Delta }𝐱)=𝐟({𝐱}_0)+d𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)+o(\Vert \mathrm{\Delta }𝐱\Vert )$

Riduzione del differenziale ad un "prodotto": la derivata (totale)

Il prossimo passaggio della generalizzazione consiste nel ridurre la funzione lineare $d𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)$ ad un "prodotto".

Funzione scalare

Nel caso particolare in cui la funzione f sia una funzione scalare, cioè il dominio W coincida, come caso limite di spazio vettoriale, con lo stesso campo K, allora la f è una applicazione lineare scalare su V, e come tale appartiene al duale di V, V*. Si può allora definire in V un prodotto scalare (quando non sia già definito per indurre la norma in V) in modo tale che ad ogni applicazione φ di V* resti associato un elemento a_φ di V tale che $\varphi (𝐱)=<{𝐚}_{\varphi },𝐱>$. In particolare per ogni x₀ fissato esiste un vettore $𝐚({𝐱}_0)=a_{df({𝐱}_0)}$ tale che:

$df({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)=<𝐚({𝐱}_0),\mathrm{\Delta }𝐱>$

Questa generalizzazione consente di generalizzare anche il concetto di derivata: si può infatti definire la derivata della funzione f nel punto x₀ quel vettore $Df({𝐱}_0)$ tale che:

$df({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)=<Df({𝐱}_0),\mathrm{\Delta }𝐱>$

Funzione vettoriale

Se invece la funzione f è vettoriale, allora $d𝐟({𝐱}_0)$ è in genere una applicazione lineare fra spazi vettoriali, che può sempre essere ricondotta al "prodotto" (o "composizione") fra un operatore A(x₀) e il suo argomento. Esiste dunque un operatore associato al differenziale, e che dipende dal punto x₀, tale che:

$d𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)=𝐀({𝐱}_0)\mathrm{\Delta }𝐱$

Anche in questo caso tale operatore può essere fatto coincidere con la derivata della funzione nel punto x₀, sicché $D𝐟({𝐱}_0)$ viene definita come quell'operatore tale che:

$d𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)=D𝐟({𝐱}_0)\mathrm{\Delta }𝐱$

Derivata e differenziale direzionali

Definizione

Le derivate delle funzioni definite su spazi vettoriali possono essere ricondotte a derivate monodimensionali se a partire dal punto ${𝐱}_0$ la funzione viene ristretta ad una direzione definita da un versore $\widehat{𝐯}$, il che equivale a prendere:

$\mathrm{\Delta }𝐱=\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯}$

mentre il punto di applicazione della funzione è:

$𝐱:={𝐱}_0+\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯}$

Poiché sia ${𝐱}_0$ sia $\widehat{𝐯}$ sono fissati, il punto di applicazione può essere espresso come una funzione dello scalare $\mathrm{\Delta }v$:

$𝐱=𝐡(\mathrm{\Delta }v):={𝐱}_0+\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯}$

Componendo la funzione data con la funzione $𝐡$ si ha:

funzioni scalari

$f(𝐱)=(f\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)$

$f\circ 𝐡:K\to K$

funzioni vettoriali

$𝐟(𝐱)=(𝐟\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)$

$𝐟\circ 𝐡:K\to W$

La parte lineare dell'incremento della funzione composta in un intorno di $\mathrm{\Delta }v=0$ è per definizione il suo differenziale in quel punto:

funzioni scalari

$(f\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)=(f\circ 𝐡)(0)+d(f\circ 𝐡)(0)(\mathrm{\Delta }v)+o(\mathrm{\Delta }v)=(f\circ 𝐡)(0)+D(f\circ 𝐡)(0)\mathrm{\Delta }v+o(\mathrm{\Delta }v)$

funzioni vettoriali

$(𝐟\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)=(𝐟\circ 𝐡)(0)+d(𝐟\circ 𝐡)(0)(\mathrm{\Delta }v)+o(\mathrm{\Delta }v)=(𝐟\circ 𝐡)(0)+D(𝐟\circ 𝐡)(0)\mathrm{\Delta }v+o(\mathrm{\Delta }v)$

Il differenziale e la derivata che compaiono in queste espressioni sono semplicemente un differenziale e una derivata monodimensionali nella variabile scalare $\mathrm{\Delta }v$. Essi però si ottengono restringendo la funzione alla direzione $\widehat{𝐯}$, e per questa ragione vengono anche definiti differenziale direzionale e derivata direzionale, e indicati rispettivamente con ${\partial }_{\widehat{𝐯}}$ e $D_{\widehat{𝐯}}$:

funzioni scalari

• $D_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0):=D(f\circ 𝐡)(0)$
• ${\partial }_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v):=d(f\circ 𝐡)(0)(\mathrm{\Delta }v)=D_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)\mathrm{\Delta }v$

funzioni vettoriali

• $D_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0):=D(𝐟\circ 𝐡)(0)$
• ${\partial }_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v):=d(𝐟\circ 𝐡)(0)(\mathrm{\Delta }v)=D_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)\mathrm{\Delta }v$

Resta quindi:

funzioni scalari

$(f\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)=f({𝐱}_0)+D_{\widehat{𝐯}}f(x_0)\mathrm{\Delta }v+o(\mathrm{\Delta }v)$

funzioni vettoriali

$(𝐟\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)=𝐟({𝐱}_0)+D_{\widehat{𝐯}}𝐟(x_0)\mathrm{\Delta }v+o(\mathrm{\Delta }v)$

Relazione con il differenziale e con la derivata (totale)

Lo sviluppo ottentuto per la funzione composta va confrontato con lo sviluppo della stessa funzione che si ottiene calcolando il differenziale della funzione f/f con la funzione h usata come argomento:

funzioni scalari

$(f\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)=f(𝐡(\mathrm{\Delta }v))=f({𝐱}_0+\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯})=f({𝐱}_0)+df({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯})+o(\Vert \mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯}\Vert )=f({𝐱}_0)+df({𝐱}_0)(\widehat{𝐯})\mathrm{\Delta }v+o(|\mathrm{\Delta }v|)$

funzioni vettoriali

$(𝐟\circ 𝐡)(\mathrm{\Delta }v)=𝐟({𝐱}_0)+d𝐟({𝐱}_0)(\widehat{𝐯})\mathrm{\Delta }v+o(|\mathrm{\Delta }v|)$

Dal confronto resta dunque:

funzioni scalari

• $D_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)=df({𝐱}_0)(\widehat{𝐯})=<Df({𝐱}_0),\widehat{𝐯}>$
• ${\partial }_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v)=df({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯})=<Df({𝐱}_0),\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯}>$

funzioni vettoriali

• $D_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)=d𝐟({𝐱}_0)(\widehat{𝐯})=D𝐟({𝐱}_0)\widehat{𝐯}$
• ${\partial }_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v)=d𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯})=D𝐟({𝐱}_0)\mathrm{\Delta }v\widehat{𝐯}$

Generalizzazione della derivata direzionale

La derivata direzionale solitamente è definita fissando una direzione per mezzo di un versore, in modo tale che la grandezza che varia coincida con la distanza dal punto ${𝐱}_0$. Nulla impedisce tuttavia di fissare una direzione usando un vettore v di lunghezza qualsiasi, e facendo variare il suo coefficiente. In tal caso la funzione h resta definita nel modo seguente:

$𝐱=𝐡(\mathrm{\Delta }v):={𝐱}_0+\mathrm{\Delta }v𝐯$

e la derivata direzionale che si ottiene coincide con quella ottenuta usando il versore moltiplicata per la lunghezza del vettore v:

funzioni scalari

$D_{𝐯}f({𝐱}_0)=D_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)\Vert 𝐯\Vert =df({𝐱}_0)(𝐯)=<Df({𝐱}_0),𝐯>$

funzioni vettoriali

$D_{𝐯}f({𝐱}_0)=D_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)\Vert 𝐯\Vert =d𝐟({𝐱}_0)(𝐯)=D𝐟({𝐱}_0)𝐯$

Proprietà del differenziale e della derivata

Differenziale e derivata di una costante

Se $𝐜$ è una funzione costante, allora:

• $d(𝐜)=0$
• $D(𝐜)=0$

Differenziale e derivata del prodotto per uno scalare

Se k è uno scalare e f una funzione allora:

• $d(k𝐟)=kd(𝐟)$
• $D(k𝐟)=kD(𝐟)$

Differenziale e derivata di una somma

Date due funzioni ${𝐟}_1$ e ${𝐟}_2$ si ha:

• $d({𝐟}_1+{𝐟}_2)=d({𝐟}_1)+d({𝐟}_2)$
• $D({𝐟}_1+{𝐟}_2)=D({𝐟}_1)+D({𝐟}_2)$

Differenziale e derivata di un prodotto scalare

Si ha:

• $d<{𝐟}_1,{𝐟}_2>=<{𝐟}_1,d{𝐟}_2>+<{𝐟}_2,d{𝐟}_1>$
• $D<{𝐟}_1,{𝐟}_2>={𝐟}_1^{T}D{𝐟}_2+{𝐟}_2^{T}D{𝐟}_1$
• $D_{\widehat{𝐯}}<{𝐟}_1,{𝐟}_2>=<{𝐟}_1,D_{\widehat{𝐯}}{𝐟}_2>+<{𝐟}_2,D_{\widehat{𝐯}}{𝐟}_1>$

In particolare se $𝐜$ è un vettore costante allora:

• $d<𝐜,𝐟>=<𝐜,d𝐟>$
• $D<𝐜,𝐟>={𝐜}^{T}D𝐟$
• $D_{\widehat{𝐯}}<𝐜,𝐟>=<𝐜,D_{\widehat{𝐯}}𝐟>$

Differenziale e derivata di una funzione composta

Si ha:

• $d(𝐟\circ 𝐠)({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)=d𝐟(𝐠({𝐱}_0))(d𝐠({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱))$
• $D(𝐟\circ 𝐠)({𝐱}_0)=D𝐟(𝐠({𝐱}_0))D𝐠({𝐱}_0)$     ovvero     $D(𝐟\circ 𝐠)=(D𝐟\circ 𝐠)D𝐠$     (regola della catena)

Relazioni funzionali e notazione di Leibniz

Per ridurre le espressioni ottenute fin qui per $df({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }𝐱)$ a delle relazioni funzionali, bisogna - al solito - esprimere Δx come applicazione della funzione identità, che nel caso di uno spazio vettoriale è l'operatore I tale che x=I(x). Anche in questo caso si dimostra facilmente che il differenziale di tale operatore coincide con l'operatore stesso, cioè dI(x₀)=I, il quale può essere indicato con dx. Di conseguenza si ottiene:

funzioni scalari

$df({𝐱}_0)=<Df({𝐱}_0),d𝐱>$

funzioni vettoriali

$d𝐟({𝐱}_0)=D𝐟({𝐱}_0)d𝐱$

Anche in questo caso la derivata può essere intesa formalmente come il "rapporto" del differenziale della funzione e di dx, recuperando la notazione di Leibniz:

funzioni scalari

$Df({𝐱}_0)=\frac{df({𝐱}_0)}{d𝐱}$

funzioni vettoriali

$D𝐟({𝐱}_0)=\frac{d𝐟({𝐱}_0)}{d𝐱}$

dove l'espressione:

$A=\frac{B}{C}$

va intesa semplicemente come espressione formale per dire che è possibile definire un qualche "prodotto" in modo tale che B sia esprimibile come "prodotto" di A per C

Per quel che riguarda la derivata parziale, se si introduce una applicazione lineare $\partial v$ che applicata a $\mathrm{\Delta }v$ agisce come l'identità, cioè:

$\partial v(\mathrm{\Delta }v)=\mathrm{\Delta }v$

allora si ha la seguente relazione funzionale:

funzioni scalari

${\partial }_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)=D_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)\partial v$

funzioni vettoriali

${\partial }_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)(\mathrm{\Delta }v)=D_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)\partial v$

da cui segue che la derivata direzionale può essere espressa (questa volta propriamente) come rapposto di differenziali:

funzioni scalari

$D_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)=\frac{{\partial }_{\widehat{𝐯}}f({𝐱}_0)}{\partial v}$

funzioni vettoriali

$D_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)=\frac{{\partial }_{\widehat{𝐯}}𝐟({𝐱}_0)}{\partial v}$

(dove il versore $\widehat{𝐯}$ è solitamente omesso in quanto sottinteso).

Operatori differenziali

Eliminata la dipendenza dall'incremento, il punto $x_0$ si può considerare variabile e lo si può eliminare lasciando indicati espressamente i funzionali df/df e le funzioni Df/Df. Allora d e D possono essere considerati degli operatori funzionali che agendo sulla funzione f/f la trasformano in un funzionale o in un'altra funzione.

L'introduzione di tali operatori richiede tuttavia un poco di cautela rispetto a quanto si può fare nel caso monodimensionale.

Funzioni scalari: il gradiente

Nel caso delle funzioni scalari Df è un campo vettoriale (cioè si ha un vettore Df(x) definito in ogni punto x del dominio). Si può allora introdurre un operatore differenziale funzionale che trasformi una funzione scalare in una funzione vettoriale. Poiché il prodotto di un vettore per uno scalare è un vettore, tale operatore può essere considerato un operatore funzionale "vettoriale", e per distinguerlo dalla derivata "scalare" monodimensionale (o da altre derivate "scalari" definibili nel caso multidimensionale, come la derivata direzionale) lo si chiama gradiente e lo si indica con il simbolo $\mathrm{\nabla }$, detto nabla o con l'operatore corrispondente nella notazione di Leibniz:

$\mathrm{\nabla }=\frac{d}{d𝐱}$

$Df(𝐱)=(\mathrm{\nabla }f)(𝐱)=\left(\frac{d}{d𝐱}f\right)(𝐱)=\frac{df}{d𝐱}(𝐱)=\frac{(df)(𝐱)}{d𝐱}$

Disponendo dell'operatore vettoriale $\mathrm{\nabla }$ il differenziale e la derivata direzionale si lasciano riscrivere come prodotto scalare di questo operatore con una funzione vettoriale e un vettore. Si ha infatti:

$df({𝐱}_0)=<\mathrm{\nabla }f({𝐱}_0),d𝐱>=<d𝐱,\mathrm{\nabla }>f({𝐱}_0)$

da cui segue la relazione operatoriale:

$d=<d𝐱,\mathrm{\nabla }>$

Analogamente per la derivata direzionale si ha:

$D_{\widehat{𝐯}}f(𝐱)=<Df(𝐱),\widehat{𝐯}>=(<\widehat{𝐯},\mathrm{\nabla }>f)(𝐱)$

da cui segue la relazione operatoriale:

$D_{\widehat{𝐯}}:=\frac{\partial }{\partial v}=<\widehat{𝐯},\mathrm{\nabla }>$

Funzioni vettoriali: lo jacobiano

Mentre Df per una funzione scalare è un campo vettoriale (il gradiente di f), per una funzione vettoriale Df è un campo operatoriale, che viene chiamato jacobiano di f e indicato con $J_{𝐟}$ o con $J𝐟$. In questo caso un operatore che agisca sulla funzione vettoriale f restituendo Df è un operatore che trasforma un campo vettoriale in un campo operatoriale. Tale operatore non può essere ancora l'operatore gradiente, anche perché non è chiaro come si potrebbe riscrivere Df come "prodotto" di un operatore vettoriale per una funzione vettoriale.

Tuttavia possiamo superare questo problema osservando che il differenziale e la derivata parziale sono formalmente due operatori "scalari", che si ottengono come prodotto scalare dell'operatore $\mathrm{\nabla }$ con, rispettivamente, il differenziale dx e il vettore v, sicché ci si può aspettare che essi abbiano effettivamente le proprietà di uno scalare, e possano essere formalmente "moltiplicati" sia per uno scalare sia per un vettore. Per rendersi conto che vale effettivamente questa proprietà, basta osservare che dato un generico vettore $𝐜$ (costante) si ha:

$<𝐜,d𝐟({𝐱}_0)>=<𝐜,D𝐟({𝐱}_0)d𝐱>=<{𝐜}^{T}D𝐟({𝐱}_0),d𝐱><D<𝐜,𝐟({𝐱}_0)>,d𝐱>=$

$<\mathrm{\nabla }<𝐜,𝐟({𝐱}_0)>,d𝐱>=<d𝐱,\mathrm{\nabla }><𝐜,𝐟({𝐱}_0)>=<𝐜,<d𝐱,\mathrm{\nabla }>𝐟({𝐱}_0)>$

da cui segue che:

$d𝐟=<d𝐱,\mathrm{\nabla }>𝐟$

e lo stesso si ottiene per la derivata direzionale:

$D_{\widehat{𝐯}}𝐟=<\widehat{𝐯},\mathrm{\nabla }>𝐟$

Questo conferma che il "prodotto scalare" dell'operatore $\mathrm{\nabla }$ con un vettore (o con una funzione vettoriale) si comporta effettivamente come un "operatore scalare", anche quando venga applicato ad una funzione vettoriale.

Quanto alla derivata, basta osservare che:

$d𝐟({𝐱}_0)=(<d𝐱,\mathrm{\nabla }>𝐟)({𝐱}_0)=d{𝐱}^T(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐟)({𝐱}_0)=(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐟{)}^T({𝐱}_0)d𝐱$

da cui segue che:

$D𝐟=(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐟{)}^T$

Si può anche definire un operatore jacobiano J tale che:

$J=(\mathrm{\nabla }\otimes -{)}^T={(\frac{d}{d𝐱}\otimes -)}^T$

$D𝐟=J𝐟=(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐟{)}^T={(\frac{d}{d𝐱}\otimes 𝐟)}^T=\frac{d𝐟}{d𝐱}$