Calcolo numerico/Calcolo di autovalori estremi

Osservazione 3.2

Gli autovalori di una matrice sono le radici del polinomio caratteristico, ma non è conveniente calcolarli in questo modo. Al contrario, a volte il problema del calcolo delle radici di un polinomio viene ricondotto al calcolo degli autovalori di una matrice. Infatti dato un polinomio di grado $n$ della forma

$p_n={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0,$

associo a esso una particolare matrice della forma:

$\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0& a_{n-1}\\ 0& 1& 0& 0& \dots \\ 0& 0& 1& 0& a_1\\ 0& 0& 0& 1& a_0\end{array}$

Condizionamento

Teorema 3.4 (teorema di Bauer-Flick)

Sia $A$ una matrice in ${\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{n,ℂ}$ diagonalizzabile, della forma $S\lambda S^{-1}$. Sia $E\in {\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{n,ℂ}$ matrice di perturbazione e consideriamo $\mu =\lambda (A+E)$, autovalore di $A+E$. Allora

${min}_{i=1}^n|\mu -{\lambda }_i(A)|\le K(S)\ast |E|$

con la norma matriciale assoluta.

Una norma matriciale assoluta è tale che la norma di una matrice diagonale è

${max}_{i=1}^n|A_{ii}|$

Le norme 1,2, infinito sono norme assolute.

Caso particolare: supponiamo che $A$ sia hermitiana, diagonalizzata tramite matrici unitarie $Q,Q_h$. Allora

$|Q|=|Q_h|=1$

Allora $K(Q)=K(S)=1$.

Se $A$ è hermitiana, il problema del calcolo di autovalori è ben condizionato.

Se $A$ non è hermitiana, allora il problema può essere ben condizionato o mal condizionato, e il condizionamento dipende dalla matrice $S$.