Calcolo numerico/Comportamento dell'errore algoritmico e dell'errore analitico

Data una funzione $f$ non razionale, l'errore totale al primo ordine è $E_{alg}+E_{an}+E_{in}$.

Se abbiamo una funzione non razionale, si ha $E_{an}\ne 0$. Ci si aspetta che per $n$ crescente, l'errore analitico si riduca. Invece, per $n$ crescente, $E_{alg}$ aumenta.

Grafico: supponiamo di avere un grafico con $n$ in ascissa e l'errore in ordinata. L'errore analitico è rappresentato da una curva che decresce, viceversa l'errore algoritmico è una curva crescente. Osservo che abbiamo un valore $n_0$ per cui abbiamo la situazione migliore possibile, cioè il polinomio è un'approssimazione sufficientemente buona della funzione, e l'errore algoritmico non è ancora troppo elevato (punto di bilanciamento). La curva complessiva dell'errore relativo (somma di errore algoritmico e analitico) ha una forma di V, raggiunge una cuspide ($n_0$) e poi risale. Infatti inizialmente, si aumenta $n$ per ridurre l'errore analitico, ma l'aumentare di $n$ provoca l'aumentare dell'errore algoritmico, e quindi non si riesce a ottenere una riduzione soddisfacente dell'errore.

Esempio 1.8

Consideriamo l'esempio di approssimazione della derivata prima con il rapporto incrementale.

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+o(h)$

o con il rapporto incrementale centrato:

$f^{\prime }(x)=\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}+o(h^2)$

Grafico: rappresentiamo $h$ sull'asse delle ascisse, e in ordinata l'errore relativo (trascuriamo l'errore inerente). Al decrescere di $h$, l'errore algoritmico aumenta, e i risultati guadagnati riducendo $h$ non portano vantaggi. Considerando invece il rapporto incrementale centrato, si ha un miglioramento, ma anche in questo caso, al diminuire di $h$, l'errore analitico diminuisce ma a partire da un certo punto l'errore algoritmico aumenta e deteriora il risultato.

Conclusione importante: su un calcolatore, non vale la regola che più fine è l'approssimazione, più l'errore si riduce.