Calcolo numerico/Cos'è l'aritmetica floating point

I calcolatori usano la rappresentazione dei numeri in base 2, e usano la rappresentazione dei numeri in virgola mobile normalizzata.

Rappresentazione in virgola fissa in base 10

Consideriamo un qualsiasi numero reale $\alpha \in ℝ$, allora

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha ,{\alpha }_n{\alpha }_{n-1}\dots {\alpha }_0{\alpha }_{-1}{\alpha }_{-2}{\alpha }_{-n}$

dove ${\alpha }_k\in [0,9]$, $k\in \mathbb{Z}$, $k>=0=$ parte intera, $k<0=$ mantissa), e ${\alpha }_n\ne 0$.

Equivalentemente, si scrive

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha ({\alpha }_{n}10^n+{\alpha }_{n-1}10^{n-1}+\dots +{\alpha }_0\ast 10^0+{\alpha }_{-1}\ast 10^{-1}+\dots +{\alpha }_{-n}\ast 10^{-n}+\dots )$

$=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha \ast (\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n{\alpha }_{k}10^k)\text{rappresentazione}\ast$

Teorema 1.1

In base $\beta$, se supponiamo che non esista $\overline{k}$ tale che $\mathrm{\forall }k\le \overline{k}$ $a_k=\beta -1$, allora esiste unica la rappresentazione $\ast$.

Esempio 1.2

Supponiamo di considerare

$\alpha =0.999999\dots$

violando l'ipotesi del teorema. Infatti, esiste $\overline{k}=-1$ tale che per ogni $k\le \overline{k}=-1$, si ha $a_k=a_{k-1}=\beta -1$.

$\alpha =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{-1}{a}_k{\beta }^k$

con il cambio di variabile $s=-k$, e tenendo conto che ${\alpha }_k=\beta -1$ per ogni $k<-1$,

$\alpha =\sum _{s=1}^{+\mathrm{\infty }}(\beta -1){\beta }^{-s}$

$=(\beta -1)\ast {\beta }^{-1}\ast \sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }^{-s+1}$

$=(\beta -1)\ast {\beta }^{-1}\ast \sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}(1/\beta {)}^{s-1}$

$=(\beta -1)\ast {\beta }^{-1}\ast \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1/\beta {)}^k$

e questa è la serie geometrica di ragione $1/\beta <1$, quindi

$\alpha =(\beta -1)\ast {\beta }^{-1}\ast \frac{1}{1-{\beta }^{-1}}=$

$\alpha =(\beta -1)\ast {\beta }^{-1}\ast \frac{\beta }{\beta -1}=1$

e abbiamo trovato una rappresentazione differente del numero.

Il vantaggio della rappresentazione in virgola fissa è la semplicità. Lo svantaggio è l'uniformità. Fissiamo il numero di cifre della parte intera del numero e della sua parte decimale. I numeri che rappresentiamo sono equispaziati (uniformità). C'è quindi uno svantaggio se vogliamo lavorare contemporaneamente con numeri grandi e piccoli.

Rappresentazione equivalente in virgola mobile

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha (\sum _{k=n}^{-\mathrm{\infty }}{\alpha }_k{\beta }^k),{\alpha }_n\ne 0$

Raccogliendo ${\beta }^{n+1}$ otteniamo:

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha \ast [{\beta }^{n+1}\ast \sum _{k=n}^{-\mathrm{\infty }}{\alpha }_k{\beta }^{k-(n+1)}]$

Si mette in evidenza l'ordine di grandezza del numero.

Ad esempio,

$-1234,56=-10^4\ast 0,123456$

Cambio di variabile: $s=k-(n+1)$

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha \ast {\beta }^{n+1}\ast (\sum _{s=-\mathrm{\infty }}^{-1}{\alpha }_{s+n+1}{\beta }^s)$

$=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha \ast {\beta }^{n+1}\ast (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }^{-k+n+1}{\beta }^{-k})$

$=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}\alpha \ast ({\beta }^{n+1})\ast 0.{\alpha }_n{\alpha }_{n-1}{\alpha }_1\dots {\alpha }_0\dots )$

e stiamo usando una rappresentazione in virgola mobile che mette in evidenza l'ordine di grandezza.

Il vantaggio è che l'ordine di grandezza del numero viene messo subito in evidenza. Inoltre, se abbiamo un numero fissato di cifre di mantissa, allora i numeri non sono più equispaziati.

Struttura dell'insieme F dei numeri macchina

Sono fissati $\beta$, il numero $t$ di cifre di mantissa, $L,U$ che rappresentano il minimo e massimo esponente della base. Allora $ℱ=ℱ(\beta ,t,L,U)$ è

$\{xt.c.x=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x.({\alpha }_1\dots {\alpha }_t)\ast {\beta }^p\}$

dove per le cifre vale che $0<{\alpha }_i<\beta -1$, e dove ${\alpha }_1\ne 0$ e dove $L<p<U$.

Si pone ${\alpha }_1\ne 0$ per risparmiare cifre, perché ad esempio, invece di scrivere $0,001$ si scrive $0,1\ast 10^{-2}$.

Consideriamo per semplicità $\beta =10$, $t=2$, $L=-1$, $U=1$. Analizzo quindi la struttura di $F=F(10,2,-1,1)$.

$\{x=(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x.{\alpha }_1{\alpha }_2)10^p,0<{\alpha }_1\le 9,0\le {\alpha }_2\le 9\}$

Ci si chiede qual è il più piccolo numero positivo $m$ che si riesce a rappresentare.

$m=0.10\ast 10^{-1}=1/100$

mentre

$M=0.99\ast 10^1=9,9\text{cifre ed esponente al valore massimo}$

Sulla retta rappresentiamo $0,m,M$, e i numeri prima di $m$ e oltre $M$ non possono essere rappresentati in $F$.

$m=0.10\ast 10^{-1}=0.01$

$x=0.10\ast 10^{-1},x_1=0.11\ast 10^{-1},x_2=0.12\ast 10^{-1}\dots ,x_n=0.20\ast 10^{-1}$

Calcolo la differenza tra i due numeri: chiamiamo spacing la differenza tra un numero $x$ e il successivo, cioè, in questo caso, $x_i-x=10^{-3}$.

Lo stesso si ripete in tutti gli intervalli della forma $(0.01,0.02)$ oppure $(0,02,0,03)$ etc.

Per i numeri successivi a $0.1\ast 10^0$ si ha un cambiamento. Infatti, tra numeri del tipo

$x=0.10\ast 10^0,x_1=0,11\ast 10^0,\dots$

Lo spacing è $10^{-2}$.

Considerando la rappresentazione in virgola mobile, si ha che quando i numeri sono piccoli sono più vicini fra loro, man mano che il loro valore assoluto aumenta i numeri si diradano.

L'equispaziatura è uguale per valori con lo stesso ordine di grandezza.

Consideriamo il caso generale $f=f(\beta ,t,L,U)$. Allora si ha

1. $m=0.100000000\dots \ast {\beta }^L$

2. $M={\beta }^U\ast \sum _{i=1}^t(\beta -1)\ast {\beta }^{-i}.$

$M={\beta }^U\ast \sum _{i=1}^t(\beta -1)\ast {\beta }^{-i}.$

$M={\beta }^U\ast {\beta }^{-1}\ast \sum _{i=1}^t(\beta -1)\ast {\beta }^{-i+1}.$

Cambio di variabile: $k+1=i$

$M={\beta }^U\ast {\beta }^{-1}\ast \sum _{k=0}^{t-1}(\beta -1)\ast {\beta }^{-k}.$

e per la somma della serie geometrica:

$M={\beta }^U\ast {\beta }^{-1}\ast (\beta -1)\ast \frac{1-{\beta }^{-t}}{1-{\beta }^{-1}}.$

$M={\beta }^U\ast (\beta -1)\ast \frac{1-{\beta }^{-t}}{\beta -1}.$

$M={\beta }^U\ast (1-{\beta }^{-t})$

3. Quantità di numeri positivi tra $m$ e $M$ (lo stesso vale per i negativi). Abbiamo $t$ cifre di mantissa, e le possibilità con cui possiamo sceglierle sono:

${\beta }^t-{\beta }^{t-1}$

Considerando gli esponenti a disposizione:

$(U-L+1)({\beta }^t-{\beta }^{t-1})$

4. Spacing: se poniamo $x=0.1\ast {\beta }^{L+1}$, il suo successivo è $0.1000001\ast {\beta }^{L+1}$, e lo spacing è ${\beta }^{L+1-t}$ nell'intervallo $(0.1\ast {\beta }^{L+1},0.1\ast {\beta }^{L+2})=({\beta }^L,{\beta }^{L+1})$. In generale, in un intervallo $({\beta }^p,{\beta }^{p+1})$, poniamo $x=0,1\ast {\beta }^{p+1}$, e il successivo $0.100001\ast {\beta }^{p+1}$, quindi lo spacing è $x_s-x=0.0001\ast {\beta }^{p+1}={\beta }^{p+1-t}$ nell'intervallo $({\beta }^p,{\beta }^{p+1})$ (da ricordare).

Osservazione 1.1

Lo spacing diventa 1 quando ${\beta }^{p+1-t}=1$, ovvero $p+1-t=0$, $p=t-1$. Quindi, nell'intervallo $({\beta }^{t-1},{\beta }^t)$ lo spacing è uguale a 1 e ci sono solo numeri interi.

Singola precisione

Per rappresentare un numero in singola precisione si hanno a disposizione 32 bit = 4 byte in base allo Standard i754, fissato nel 1985. In base 2, dei 32 bit, se ne usa 1 per il segno ($+=0$ o $-=1$), 8 bit per l'esponente, 23 bit per la mantissa. Per evitare di utilizzare un bit per il segno dell'esponente, si considerano solo esponenti positivi.

In particolare,

$L=-126,U=127$

$-126+127=1$

L'esponente -126 viene rappresentato con 1, e tutti gli esponenti vengono traslati di +127, e l'esponente massimo viene rappresentato con 254.

$-127\mapsto 0$ è l'esponente che viene riservato allo zero, o per i numeri denormalizzati.

$128=255=11111111$

è riservato a infinito o al not a number (risultato di un'operazione non definita).

Uso 23 bit di mantissa, ma si ha un bit extra perché il primo bit è per forza uguale a 1 e non lo memorizzo.

Quindi, in singola precisione, $t=24,m=+.10\ast 2^{-126}=1.1755\ast 10^{-38},M=+,11111\ast 2^{127}=3.4028\ast 10^{38}$.

Doppia precisione

Ogni numero occupa 64 bit e si utilizzano:

1. 1 bit per il segno del numero
2. 11 bit riservati all'esponente (shiftato di 1023)
3. 52 cifre riservate alla mantissa, + un bit extra, quindi $t=53$.

$m=.1\ast 2^{-1022}=2.251\ast 10^{-308},M=.111\ast 2^{1023}=1.7977\ast 10^{308}$

realmin e realmax indicano la barriera di underflow e la barriera di overflow, e nella doppia precisione ci sono 16 cifre decimali.