Calcolo numerico/Formule di quadratura approssimate

Descrizione del problema

Data una funzione $f:[a,b]\to ℝ$, si vuole calcolare

$I_f={\int }_a^{b}f(x)dx$

Siccome per ipotesi $f$ è continua, per il teorema fondamentale del calcolo esiste una primitiva $F$ tale che

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Approssimiamo $I_f$ con

$I_n(f)=\sum _{i=0}^n{w}_i\ast f(x_i)\text{formula }\ast$

dove gli $x_i$ vengono chiamati nodi e i $w_i$ vengono chiamati pesi. È quindi possibile calcolare gli integrali anche nel caso in cui si conoscono solo alcuni dati e non l'espressione della funzione.

Si richiede che le costanti vengano sempre integrate esattamente, cioè $I_n(1)=I(1)$, quindi imponiamo la proprietà di consistenza:

$\sum _{i=0}^n{w}_i={\int }_a^{b}1=b-a$

Se questa proprietà non è soddisfatta la formula non è un buon algoritmo per il calcolo degli integrali.

Formule di quadratura con interpolazione

Si pensa di approssimare $f$ con un polinomio di grado $n$, usando le tecniche di interpolazione. Nella pratica si applicano le formule di quadratura in forma composta (integrazione in sottointervalli).

Si pone

$I_n(f)={\int }_a^b\sum _{i=0}^{n}f(x_i)\ast l_i(x)$

$=\sum _{i=0}^{n}f(x_i){\int }_a^b{L}_i(x)dx$

dove l'integrale è il peso $w_i$ definito nella formula di quadratura $\ast$.

Esistono due possibilità:

1. $x_i$ sono nodi equispaziati (formule di Newton-Cove),
2. $x_i$ sono nodi corrispondenti agli zeri di polinomi ortogonali (formule gaussiane).