Calcolo numerico/Localizzazione degli autovalori

I tre teoremi di localizzazione

Teorema 3.1

Lo spettro ${\sigma }_A$ della matrice $A$, cioè l'insieme dei suoi autovalori, è contenuto nell'unione dei cerchi di Gerschgorin, cioè è contenuta in

$\bigcup _{i=1}^n{K}_i$

Teorema 3.2

Sia $M_1=\bigcup _{i=i_1,\dots ,i_k}{K}_i$ (unione di $k$ cerchi) e $M_2=\bigcup _{i=i_{k+1},\dots ,i_n}{K}_i$ (unione di $n-k$ cerchi) dove $M_1\cap M_2=\mathrm{\varnothing }$. Allora $k$ autovalori appartengono a $M_1$ e $n-k$ autovalori appartengono a $M_2$.

Esempio 3.1

Consideriamo $A\in M_{4,ℝ}$, allora se c'è un autovalore complesso anche il suo coniugato è un autovalore di $A$, e dev'essere contenuto nello stesso cerchio $K_i$. Supponiamo che i cerchi di Gerschgorin relativi ad $A$ sono tali che $K_1$ è disgiunto da $K_2\cup K_3\cup K_4$. Allora, siccome per il teorema 2 nel cerchio $K_1$ c'è solo un autovalore, si può dire che la matrice ha almeno due autovalori reali. Infatti l'autovalore contenuto in $C_1$ è necessariamente reale, perché $C_1$ non contiene il coniugato di questo autovalore. L'unione degli altri tre cerchi contiene tre autovalori, allora almeno uno di questi sarà sicuramente reale.

Teorema 3.3

Sia $A$ una matrice irriducibile. Se l'autovalore ${\lambda }_A$ appartiene alla frontiera dell'unione di tutti i cerchi, allora esso appartiene alla frontiera di ogni cerchio.

Equivalentemente, il terzo teorema può essere riscritto nel seguente modo: supponiamo di avere $\lambda \in \partial \bigcup _i{K}_i$, e supponiamo di avere un indice $j$ tale che $\lambda \in ̸\partial K_j$, allora $\lambda$ non è autovalore.

Esempio 3.2

Consideriamo la matrice con 2 sulla diagonale principale e con -1 sulla sopradiagonale e sottodiagonale. Alla prima e all'ultima riga corrispondono cerchi di raggio 1 e centro 2. Invece i cerchi corrispondenti alle righe dalla seconda alla penultima sono di raggio 2 e centro 2.

Allora per il teorema 3, $A$ è non singolare (0 non è autovalore), infatti 0 non appartiene alla frontiera dei cerchi di raggio 1.

Dimostrazione del primo teorema di localizzazione

Sia $A𝒙=\lambda 𝒙$, $𝒙\ne 0$. Consideriamo la $i$-esima equazione:

$\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{x}_j=\lambda x_i$

e separando le entrate $A_{ii}$ otteniamo:

$(\lambda -A_{ii})x_i=\sum _{j\ne i}{A}_{ij}{x}_j\text{relazione }\ast$

Consideriamo la norma infinito di $𝒙$, allora esiste $p$ tale che $|𝒙{|}^{\mathrm{\infty }}=x_p$.

Allora riscrivo la relazione $\ast$ come:

$|(\lambda -A_{pp})x_p|=|\sum _{j\ne p}{A}_{pj}{x}_j|$

$|x_j|\le |x_p|⟶|\lambda -a_{pp}|\ast |x_p|\le \sum _{j\ne p}{A}_{pj}{x}_p|$

ed elidendo $x_p$:

$|\lambda -A_{pp}|\le \sum _{j\ne p}|A_{pj}|$

allora $\lambda$ appartiene al cerchio $K_p$. $p$ non è noto, allora $\lambda$ appartiene all'unione di tutti i cerchi.

cvd

Osservazione 3.1

Supponiamo di avere una matrice $A$ diagonalmente dominante in senso stretto, oppure che sia diagonalmente dominante in senso debole e irriducibile. Allora $A$ è non singolare. Se inoltre $A$ è hermitiana e gli $A_{ii}$ sono reali positivi, allora $A$ è definita positiva.

Dim. Siccome $A$ è diagonalmente dominante

$|A_{ii}|>\sum _{j\ne i}|A_{ij}|$

quindi la distanza dell'autovalore dall'origine è maggiore del raggio, e i cerchi sono lontani dall'origine. Quindi 0 non appartiene alla loro frontiera.

Nel caso di dominanza diagonale debole e irriducibilità, abbiamo almeno un cerchio che tocca l'origine, perché esiste $i$ tale che

$|A_i|=r_i$

allora $0\in \partial K_i$. Per l'irriducibilità esiste un altro indice $s$ tale che $A_{ss}>r_s$, allora $0\in ̸\partial K_s$. Allora per il terzo teorema 0 non può essere autovalore.

Se gli elementi diagonali della matrice sono positivi, i cerchi sono tutti nel semipiano positivo, gli autovalori sono positivi e la matrice è definita positiva.

cvd