Calcolo numerico/Metodi Runge-Kutta

Definizione generale

Questi metodi sono del tipo

$y_{n+1}=y_n+hF(t_n,y_n,h;f)$

e sono a un passo. $F$ è definita come

$F(t_n,y_n,h;f)=\sum _{i=1}^s{b}_i\ast K_i$

dove i $K_i$ vengono chiamati stadi.

Definizione degli stadi

Gli stadi possono essere definiti come

$K_i=f(t_n+c_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{K}_j)$

Nel secondo argomento compaiono nuovamente gli stadi, quindi questi metodi sono non lineari.

I coefficienti $c_i,b_i,a_{ij}$ compaiono nella batcher array.

$\left(\begin{array}{cccc}{c}_1& a_{11}& \dots & a_{1s}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_s& a_{s1}& \dots & a_{ss}\\ & b_1& \dots & b_s\end{array}\right)$

In forma compatta:

$\left(\begin{array}{cc}𝒄& A\\ & 𝒃\end{array}\right)$

I coefficienti indicano caratteristiche del metodo usato. In particolare deve valere la row sum condition, cioè

$c_i=\sum _{j=1}^s{a}_{ij}$

se quest'uguaglianza non è verificata il metodo non funziona.

Si possono verificare tre casi:

1. metodi espliciti ($a_{ij}=0⟺j\ge i$): la sommatoria si ferma all'indice $i-1$, la diagonale principale e la parte triangolare superiore di $A$ sono nulle; compare solo la dipendenza dagli stadi precedenti, che sono già stati calcolati;
2. metodi semi-impliciti ($a_{ij}=0⟺j>i$):la diagonale principale non è nulla, ma la parte triangolare superiore di $A$ lo è, compare la dipendenza dal passo attivo;
3. metodi impliciti: $A$ è una matrice piena.

Nel caso dei semi-impliciti dobbiamo risolvere il sistema:

$K_i=f(t_n+c_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}{K}_j+h{a}_{ii}{K}_i)$

per $i=1,\dots ,s$, che è un sistema di $s$ equazioni non lineari disaccoppiate.

Nel caso degli impliciti invece ho un sistema di equazioni non disaccoppiate dove ogni stadio coinvolge tutti gli altri, e le equazioni sono del tipo:

$K_i=f(t_n+c_{i}h,y_n)+h\sum _{j=1}^s{a}_{ij}{K}_j+h{a}_{ii}{K}_i$

Runge-Kutta 4 (esplicito)

Il Runge-Kutta 4 è definito nel seguente modo:

$y_{n+1}=y_n+h/6(K_1+2K_2+2K_3+K_4)$

dove

$K_1=f(t_n,y_n)$

$K_2=f(t_n+h/2,y_n+h/2K_1)$

$K_3=f(t_n+h/2,y_n+h/2K_2)$

$K_4=f(t_{n+1},y_n+h{K}_3)$

Se consideriamo un Runge-Kutta esplicito a $s$ stadi, l'ordine massimo di convergenza è $s$, anche se si dimostra che non esistono Runge-Kutta espliciti a $s$ stadi di ordine $s$ per $s>5$.

Consistenza

Un metodo Runge-Kutta è consistente ovvero ${\tau }_h=\underset{n}{max}|t_{nh}|\to 0$ per $h\to 0$ se e solo se

$\sum _{i=1}^s{b}_i=1$

In questo caso 1 è l'unica radice del polinomio caratteristico e quindi la consistenza (e in questo caso la 0-stabilità) implica la convergenza.

Runge-Kutta 2

Consideriamo un Runge-Kutta a due stadi, $s=2$, esplicito. Supponiamo che

$y_{n+1}=y(t_n)+h(b_1{K}_1+b_2{K}_2)$

con $K_1=f(t_n,y(t_n))$ e $K_2=f(t_n+h{c}_2,y(t_n)+h{a}_{21}{K}_1)$.

Il blocco di Batcher è della forma:

$\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ c_2& A_{21}& 0\\ & b_1& b_2\end{array}\right)$

Deve valere la condizione di somma sulle righe, quindi

$a_{21}=c_2$

e si ottiene

$K_2=f(t_n+h{c}_2,y(t_n)+h{c}_2{K}_1)$

e sostituendo l'espressione di $K_1$:

$K_2=f(t_n+h{c}_2,y(t_n)+h{c}_{2}f(t_n,y(t_n))$

Sviluppando rispetto a $h$:

$K_2=f(t_n,y(t_n))+c_{2}h{f}_t(t_n,y_n)+h{c}_2{f}_y(t_n,y(t_n))+o(H^2)$

($f_t,f_y$ indicano le derivate parziali rispetto a $t$ e a $y$) e sostituendo le espressioni degli stadi nell'espressione del metodo:

$y_{n+1}=y(t_n)+h{b}_{1}f(t_n,y(t_n))+h{b}_2[f(t_n,y(t_n))+h{c}_2{f}_t(t_n,y(tn))+h{c}_2{f}_y(t_n,y(t_n)+O(H^2))$

e associando i termini corrispondenti

$y_{n+1}=y(t_n)+h(b_1+b_2)f(t_n,y(t_n))+h^2{b}_2{c}_2(f_t(t_n,y(tn))+f_y(t_n,y(t_n))+O(H^2)$

ma $y_{n+1}=y(t_n)+h{y}^{\prime }(t_n)+h^2/2y^{″}(t_n)+O(h^3)$, quindi

$y(t_n)+h{y}^{\prime }(t_n)+h^2/2y^{″}(t_n)+O(h^3)=$

$=y(t_n)+h(b_1+b_2)f(t_n,y(t_n))+h^2{b}_2{c}_2(f_t(t_n,y(tn))+f_y(t_n,y(t_n))+O(H^2)$

e

$h{y}^{\prime }(t_n)+h^2/2y^{″}(t_n)+O(h^3)=$

$=h(b_1+b_2)f(t_n,y(t_n))+h^2{b}_2{c}_2(f_t(t_n,y(tn))+f_y(t_n,y(t_n))+O(H^2)$

Imponiamo che la soluzione esatta soddisfi lo schema numerico fino a un certo ordine, e confrontando i coefficienti a primo e secondo membro otteniamo:

$\{\begin{array}{c}{b}_1+b_2=1\\ b_2{c}_2=1/2\end{array}$

Ci sono infinite soluzioni possibili, quindi infiniti Runge-Kutta di tipo 2.

Passo di integrazione

Dato un problema di integrazione stiff, si deve sempre scegliere un passo di integrazione variabile. Nei metodi Runge-Kutta a un passo il passo può essere variato a piacere, mentre nei metodi multipasso questo non è vero.

I Runge-Kutta impliciti sono i metodi che raggiungono la massima potenza possibile. La loro teoria di convergenza viene trattata in maniera algebrica.