Calcolo numerico/Operazioni aritmetiche con il calcolatore

Non è detto che i risultati delle operazioni tra numeri macchina siano ancora dei numeri macchina. Ci sono dei bit di guardia che permettono di rappresentare l'operazione in maniera quasi esatta, e poi si converte il risultato in numero macchina.

Somma

Per eseguire la somma algebrica $x\pm y$:

1. rappresentiamo $x$ e $y$ con i loro floating, cioè $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)+\mathrm{f}\mathrm{l}(y)$,
2. dopo aver sommato facciamo il floating del risultato

cioè

$x\pm y=\mathrm{f}\mathrm{l}(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)+\mathrm{f}\mathrm{l}(y))$

L'errore relativo $\frac{\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x}{x}=\epsilon$, e si pone $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=x(1+\epsilon )$. $\epsilon$ non un infinitesimo.

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x)+\mathrm{f}\mathrm{l}(y)=x(1+{\epsilon }_x)+y(1+{\epsilon }_y)=\mathrm{f}\mathrm{l}(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)+\mathrm{f}\mathrm{l}(y))=(1+{\epsilon }_s)(x(1+{\epsilon }_x)+y(1+{\epsilon }_y))$

Al primo ordine, si ha

$=x(1+{\epsilon }_x)\pm y(1+{\epsilon }_y)+(x\pm y){\epsilon }_s$

$=(x\pm y)+x{\epsilon }_x+y{\epsilon }_y+(x\pm y){\epsilon }_s$

Considerando l'errore relativo al primo ordine:

$E_r=|\frac{\mathrm{f}\mathrm{l}(x\pm y)-(x\pm y)}{x\pm y}|{=}^{\circ }\frac{|(x\pm y)+x{\epsilon }_x+y{\epsilon }_y+(x+y){\epsilon }_s-(x\pm y)|}{x\pm y}$

${=}^{\circ }\frac{x{\epsilon }_x+y{\epsilon }_y+(x+y){\epsilon }_s|}{x\pm y}$

$=|\frac{x}{x\pm y}\ast {\epsilon }_x\pm \frac{y}{x\pm y}{\epsilon }_y+{\epsilon }_s|$

$\le |\frac{x}{x\pm y}|\ast |{\epsilon }_x|\pm |\frac{y}{x\pm y}|\ast |{\epsilon }_y|+|{\epsilon }_s|$

e in base al teorema sulla round of unit

$\le u\ast (\frac{|x|}{|x\pm y|}+\frac{|y|}{|x\pm y|}+1)$

Distinguiamo due casi.

1. Se i due numeri hanno segno concorde, allora $x/|x+y|$ e $y/|x+y|$ sono frazioni proprie, e sono minori o uguali ad 1. Allora l'errore relativo è maggiorato al primo ordine da $3u=3\ast 2^{-52}$. L'operazione è "stabile", e non dipende dai dati.
2. Nel caso di segno discorde, l'errore dipende dai dati, e non è sempre "stabile", perché può capitare il fenomeno della cancellazione numerica.

Esempio 1.6

Supponiamo $ℱ=ℱ(10,5,-6,6)$. Consideriamo

$x=0.123456,y=-0.123454$

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=0.12346\ast 10^0\text{per eccesso}$

$\mathrm{f}\mathrm{l}(y)=-0.12345\ast 10^0\text{tper difetto}$

In aritmetica esatta

$x+y=0.2\ast 10^{-5}$

Per il calcolatore

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x)+\mathrm{f}\mathrm{l}(y)=0.1\ast 10^{-4}\in ℱ$

Non c'è nessuna cifra esatta.

$e_A=0.8\ast 10^{-5},e_r=4,e_p=400\mathrm{\%}$

La somma è fra due numeri quasi uguali in valore assoluto e con segno opposto: si ha un errore molto elevato dovuto all'approssimazione. Questo fenomeno viene chiamato cancellazione numerica.

L'errore relativo totale è fatto al primo ordine da tre termini:

1. ${\epsilon }_s$, errore locale generato nell'operazione;
2. errore relativo al dato $x$ moltiplicato per un coefficiente $c_x$, ed è $\frac{x}{x\pm y}$;
3. errore relativo al dato $y$, moltiplicato per $c_y$

Allora ${\epsilon }_x,{\epsilon }_y$ danno l'errore di rappresentazione sui dati, mentre $c_x,c_y$, detti coefficienti di amplificazione.

L'errore totale al primo ordine è

${\epsilon }_s+c_x\ast {\epsilon }_x+c_y\ast {\epsilon }_y$

(coefficiente lungo il ramo moltiplicato per errore)

Esercizio 1.1

Se l'operazione si scrive come $f(x,y)$ allora

$c_x=\frac{x}{f(x,y)}\ast \frac{\partial f}{\partial x}$

$c_y=\frac{y}{f(x,y)}\ast \frac{\partial f}{\partial y}$

Verificare che questo è vero per i risultati ottenuti per la somma, e dimostrarlo nel caso di moltiplicazione e divisione.

Nel caso della somma:

$\begin{array}{cc}f(x,y)& =x+y\\ \frac{\partial f}{\partial x}=1\\ \frac{\partial f}{\partial y}=1\\ ⟶c_x& =\frac{|x|}{|x+y|}\ast 1\\ ⟶c_y& =\frac{|y|}{|x\pm y|}\end{array}$

quindi

$E_r=\frac{x}{|x\pm y|}\ast {\epsilon }_x+\frac{y}{|x\pm y|}\ast {\epsilon }_y+{\epsilon }_s\text{coincide con l'espressione ottenuta}$

Nel caso della moltiplicazione ricavo il risultato con i due procedimenti:

Procedimento 1: $x\ast y$ viene eseguita dal calcolatore come

$\mathrm{f}\mathrm{l}(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)\ast \mathrm{f}\mathrm{l}(y))$

e considerando che $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=x(1+{\epsilon }_x)$ e $\mathrm{f}\mathrm{l}(y)=y\ast (1-{\epsilon }_y)$ otteniamo:

$=\mathrm{f}\mathrm{l}(x(1+{\epsilon }_x)\ast y\ast (1+{\epsilon }_y))$

$=(1+{\epsilon }_m)[xy(1+{\epsilon }_x)(1+{\epsilon }_y)]$

e al primo ordine otteniamo:

$=xy+xy{\epsilon }_x+xy{\epsilon }_y+xy{\epsilon }_m$

e l'errore relativo è:

$E_r=\frac{|\mathrm{f}\mathrm{l}(xy)-xy|}{|xy|}=$

${=}^{\circ }\frac{xy+xy{\epsilon }_x+xy{\epsilon }_y+xy{\epsilon }_m-xy}{|xy|}$

${=}^{\circ }\frac{xy{\epsilon }_x+xy{\epsilon }_y+xy{\epsilon }_m}{|xy|}$

$={\epsilon }_x+{\epsilon }_y+{\epsilon }_m$

Procedimento 2:

$\begin{array}{cc}f(x,y)& =xy\\ \frac{\partial f}{\partial x}& =y\\ \frac{\partial f}{\partial y}& =x\\ ⟶c_x& =\frac{x}{|xy|}\ast y=1\\ ⟶c_y& =\frac{y}{|xy|}\ast x=1\end{array}$

quindi

$E_r=c_x{\epsilon }_x+c_y{\epsilon }_y+{\epsilon }_m$

$={\epsilon }_x+{\epsilon }_y+{\epsilon }_m$

Derivazione dei coefficienti di amplificazione

Vogliiamo calcolare $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$. Ipotizziamo che $f$ sia sufficientemente regolare, e che non ci sia errore nel calcolo del valore di $f$, ma solo nella rappresentazione dei dati.

Chiamiamo $x=(x_1,\dots ,x_n)$, e ne consideriamo il floating, cioè $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=(\mathrm{f}\mathrm{l}(x_1),\dots ,\mathrm{f}\mathrm{l}(x_n))$.

$E_r=\frac{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$

Caso 1: $n=1$

$E_r=\frac{f(x)+f^{\prime }(x)\ast (\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)+o(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)-f(x)}{f(x)}$

Considerando $\frac{f^{\prime }(x)\ast (\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)}{x}$, moltiplichiamo numeratore e denominatore per $v$:

$\frac{x\ast f^{\prime }(x)\ast (\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)}{x\ast f(x)}$

$=\frac{x\ast f^{\prime }(x)}{f(x)}\ast \frac{\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x}{x}+\frac{o(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)}{f(x)}$

$=(c_x\ast {\epsilon }_x)+o(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)$

Caso 2: $n$ generico

$E_r=\frac{1}{f(x)}[f(x)+\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\ast (\mathrm{f}\mathrm{l}(x_i)-x_i)+o(|\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x|)-f(x)]$

$E_r=[\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{f(x}\ast \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)]\ast \frac{\mathrm{f}\mathrm{l}(x_i)-x_i}{x_i}+\frac{o(|\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x|)}{f(x)}$

$=\sum _i{c}_{x_i}{\epsilon }_{x_i}+o(\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x)$

Divisione

$x/y=\frac{x(1+{\epsilon }_x)}{y(1+{\epsilon }_y)}$

$(1+{\epsilon }_d)\frac{x(1+{\epsilon }_x)}{y(1+{\epsilon }_y)}$

$=x/y\ast \frac{(1+{\epsilon }_x)(1+{\epsilon }_d)}{1+{\epsilon }_y}$

Sappiamo che

$\frac{1}{1+{\epsilon }_y}\circ 1-{\epsilon }_y$

Quindi

$=\frac{x}{y}(1+{\epsilon }_x)(1-{\epsilon }_y)(1+{\epsilon }_d)$

$=x/y\ast (1+{\epsilon }_x-{\epsilon }_y+{\epsilon }_d)$

Considerando l'errore relativo:

$\frac{|x/y|\ast (1+{\epsilon }_x-{\epsilon }_y+{\epsilon }_d)-|x/y|}{x/y}$

$1+{\epsilon }_x-{\epsilon }_y+{\epsilon }_d-1$

$={\epsilon }_x-{\epsilon }_y+{\epsilon }_d\le |{\epsilon }_x|+|{\epsilon }_y|+|{\epsilon }_d|\le 3u$

e si ottiene lo stesso risultato della moltiplicazione, cioè l'operazione di divisione non dipende dai dati.

$E_r=|c_x|\ast {\epsilon }_x+|c_y|\ast {\epsilon }_y+{\epsilon }_d$

e ancora $c_x=\frac{x\ast 1/y}{x/y}=1,c_y=\frac{-x/y^2\ast y}{x/y}=-1$.