Calcolo numerico/Problemi di Cauchy

Descrizione del problema

Si vuole trovare una soluzione del problema di Cauchy

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }(t)=f(t,y)\\ y(t_0)=y_0\end{array}$

con $f:I_0\times S\subset ℝ\times {ℝ}^n$, $t_0\in I_0,y_0\in S$.

Teorema 7.1

Supponiamo che sia $t_0\in J_0\subset I_0$, dove $J_0=U(t_0)$, sia $y_0\in \mathrm{\S }\subset S$, se $f\in C^0(J_0\times \mathrm{\S })$, ed esiste $L\in {ℝ}^{+}$ tale che

$|f(t_1,y_1)-f(t_2,y_2)|\le L|y_1-y_2|$

per ogni $(t_i,y_i)\in J_0\times \mathrm{\S }$. Allora esiste unica la soluzione $Y:J_0\to \mathrm{\S }$ e si ha dipendenza continua dai dati, cioè se chiamiamo $y_s(t)$ la soluzione del problema

$\{\begin{array}{c}{y}^{\prime }(t)=f(t,y(t))\\ y(t_0)=s\end{array}$

segue che

$|y_{s_1}(t)-y_{s_2}(t)|\le e^{L(t-t_0)}|s_1-s_2|$

Inoltre si ha esistenza e unicità in grande della soluzione se $J_0=I_0$ e $\mathrm{\S }=S$.

Riformulazione di problemi di ordine $n$

Un problema di Cauchy di ordine $n$ può essere ricondotto a un problema di Cauchy del primo ordine nel seguente modo. Dato un problema del tipo

$\{\begin{array}{c}{y}^{(n)}(t)=f(t,y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)})\\ f^{(i)}(t_0)=y_0^i,i=0,\dots ,n-1\end{array}$

introduciamo funzioni ausiliarie:

$z_1(t)=y(t),z_2(t)=y^{\prime }(t),\dots ,z_n(t)=y^{(n-1)}(t)$

Possiamo ricondurci a risolvere il seguente sistema con un problema di Cauchy del primo ordine:

$\{\begin{array}{c}{z}_{1^{\prime }}(t)=z_2\\ z_{2^{\prime }}(t)=z_3\\ \dots \\ z_{n^{\prime }-1}(t)=z_n\\ z_{n^{\prime }}(t)=y^{(n)}(t)=f(t,z_1,z_2,\dots ,z_n)\end{array}$

Se $f$ è continua, il problema di Cauchy è equivalente all'equazione integrale

$y(t)=y(t_0)+{\int }_{t_0}^{t}f(\tau ,y(\tau ))d\tau$