Calcolo numerico/Rappresentazione floating dei numeri

Riepilogo

$ℱ(\beta ,t,L,U)$ è definito come $\{x=(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_t){\beta }^p,0\le {\alpha }_t\le \beta -1,{\alpha }_1\ne 0,L\le p\le U\}$ Matlab di default lavora con la doppia precisione.

Rappresentando i numeri macchina sulla retta reale, esistono $m$ (barriera di underflow) e $M$ (barriera di overflow) tali che al di fuori di $(m,M)$ i numeri non siano rappresentabili. All'aumentare dei numeri, i numeri si diradano. Lo spacing nell'intervallo $({\beta }^p,{\beta }^{p+1})$ è ${\beta }^{p+1-t}$.

Floating di un numero

Ci sono varie possibilità:

1. se $p\in ̸(L,U)$, e in particolare se $p<L$, si ha $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=0$ (numero troppo piccolo per essere rappresentato);
2. se invece $p>U$, allora non viene rappresentato, ci troviamo nella bariera di overflow e viene dato un messaggio d'errore;
3. quando $L<p<U$, e $x$ ha più cifre di mantissa di quelle che abbiamo a disposizione, allora rappresento $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}x({\alpha }_1{\alpha }_{t-1}{\alpha }_{\overline{t}}){\beta }^p$ dove ${\alpha }_{\overline{t}}$ viene determinata in base al procedimento del rounding.

Procedura del rounding

Nel caso $L<p<U$, il calcolatore applica la procedura del rounding:

1. se ${\alpha }_{t+1}<\beta /2$, si ha ${\alpha }_{\overline{t}}={\alpha }_t$ (rounding per difetto);
2. se ${\alpha }_{t+1}>\beta /2$, si ha ${\alpha }_{\overline{t}}={\alpha }_t+1$ (rounding per eccesso);
3. se ${\alpha }_{t+1}=\beta /2$, e ${\alpha }_k=0\mathrm{\forall }k>t+1$ si applica il rounding to even, cioè si pone ${\alpha }_{\overline{t}}={\alpha }_t$ se ${\alpha }_t$ è pari, altrimenti ${\alpha }_{\overline{t}}={\alpha }_t+1$. Il numero da rappresentare ha distanza uguale dai due estremi.

Esempio 1.3

Supponiamo di avere $ℱ(10,2,-1,1)$. Scrivere il floating dei seguenti numeri:

1. $x_1=5.23=0.523\ast 10^1\text{tre cifre di mantissa}$

$a_{t+1}=3<10/2$

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x_1)=0.52\ast 10^1\text{rounding per difetto}$

2. $x_2=5.27=0.527\ast 10^1$

$a_{t+1}=7>10/2$

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x_2)=0.53\ast 10^1\text{rounding per effetto}$

3. $x_3=5.25=0.525\ast 10^1$

$a_{t+1}=5,a_{t+n}=0$

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x_3)=0,52\text{rounding to even ''per difetto''}$

4. $x_4=5.35=0.535\ast 10^1$

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x_4)=0.54\ast 10^1\text{rounding to even ''per eccesso''}$

5. $x_5=0.5253\ast 10^1$

è spostato più a destra dell'intervallo, quindi si approssima per eccesso.

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x_5)=0.53\ast 10^1\text{rappresentazione per eccesso}$

Errore di rappresentazione

Dato un generico numero reale, lo si rappresenta sul calcolatore come $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)$, e ci si chiede di quanto è l'errore di rappresentazione.

Esempio 1.4

Consideriamo

$\alpha =0.1000$

$\overline{\alpha }=0.1001$

(differiscono sulla quarta cifra decimale)

$E_a=|\overline{\alpha }-\alpha |=0.1\ast 10^{-4}$

$e_r=\frac{10^{-4}}{10^{-1}}=10^{-3}$

$e_p=10^{-1}=0.1\mathrm{\%}$

Consideriamo poi

$\alpha =1000,\overline{\alpha }=1001$

$E_a=\alpha -\overline{\alpha }=1$

(l'errore assoluto differisce molto da quello precedente)

$e_r=1/10^3=10^{-3}$

(l'errore relativo è uguale a prima).

L'errore assoluto valuta il numero e l'ordine di grandezza. L'errore relativo non considera l'ordine di grandezza dei numeri confrontati.

Teorema 1.2

Supponiamo di essere nell'intervallo $({\beta }^{p-1},{\beta }^p)$, dove lo spacing è di ${\beta }^{p-t}$; consideriamo $x\in ℝ$, di cui bisogna fare il floating. Allora valgono le due seguenti affermazioni:

1. $E_a\le 1/2{\beta }^{p-t}$ (l'errore assoluto ($x-\mathrm{f}\mathrm{l}(x)$) è minore di metà dello spacing)
2. $E_r<1/2{\beta }^{1-t}=u$ (l'errore relativo è strettamente minore della round of unit).

Dal teorema emerge che l'errore assoluto dipende anche dall'ordine di grandezza del numero ($p$), e aumenta in corrispondenza della grandezza del numero. L'errore relativo dipende solo dal numero di cifre di mantissa ($t$).

Dimostrazione (Secondo punto)

Dimostriamo il punto 2.

$|x|=(.{\alpha }_1{\alpha }_2\dots {\alpha }_t){\beta }^p.$

${\alpha }_1\ge 1$, allora

$|x|>(0.1)\ast {\beta }^p={\beta }^{p-1}$

$\frac{1}{|x|}<{\beta }^{1-p}$

$E_r=\frac{|\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x|}{|x|}\le {\beta }^{1-p}\ast |\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x|$

e siccome $|\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x|=E_a\le 1/2{\beta }^{p-t}$ allora proseguendo con le disuguaglianze:

$E_r\le {\beta }^{1-p}\ast |\mathrm{f}\mathrm{l}(x)-x|\le 1/2{\beta }^{1-p}{\beta }^{p-t}\le 1/2{\beta }^{1-t}\text{disuguaglianza}\ast$

Per poter dimostrare la disuguaglianza stretta (primo punto del teorema), notiamo la seguente osservazione:

Osservazione 1.2

Supponiamo di essere in base 2 con la doppia precisione, l'errore relativo che commettiamo rappresentando un numero con il suo floating è di $2^{-52}$.

Dimostrazione (Primo punto)

Nella disuguaglianza $\ast$ vale l'uguale nel caso in cui $E_a=1/2{\beta }^{p-t}$ (errore assoluto pari a metà dello spacing). Allora ${\alpha }_{t+1}=\beta /2$, e tutte le cifre successive ${\alpha }_{t+2},{\alpha }_{t+3}\dots$ sono nulle. Approssimiamo $x$ al pari più vicino (rounding to even).

$|x|=(.{\alpha }_1{\alpha }_2\beta /2000){\beta }^p$

dove $\beta /2={\alpha }_{t+1}$, ma allora ${\alpha }_1\ne 0$, quindi

$x\ge (0.{\alpha }_{1}00\beta /200){\beta }^p$

allora questo numero è strettamente maggiore di $(0.{\alpha }_{1}000){\beta }^p>{\beta }^{p-1}$, quindi la prima disuguaglianza nella catena sopra è stretta.

L'errore di rappresentazione in aritmetica floating-point è sempre più piccolo della round of unit.

cvd

Definizione 1.4

Supponiamo che $\overline{x}$ approssima il numero $x$ con $E_r<{\beta }^{1-t}$, allora si dice che $t$ cifre della rappresentazione di $\overline{x}$ sono esatte.

Se $\overline{x}\in ℱ$ approssima $x$ in modo tale che le prime $t$ cifre coincidono, allora $E_r<{\beta }^{1-t}$. Non vale viceversa: non è vero che se l'errore è più piccolo della quantità ${\beta }^{1-t}$, allora le prime $t$ cifre coincidono.

Esempio 1.5

Consideriamo $ℱ=ℱ(10,5,L,U)$

$x=0.999995$

Siamo nel caso del rounding to even.

$\mathrm{f}\mathrm{l}(x)=0.1\ast 10^1$