Calcolo numerico/Teoria dell'errore nella sua generalità

Calcolo del valore di una funzione

Le funzioni effettivamente calcolabili sono le funzioni razionali, cioè quelle che sono date da un numero finito di operazioni $+,-,\ast ,/$. Le funzioni non razionali vengono approssimate in qualche modo con funzioni razionali. È data una funzione $f:{ℝ}^n\to ℝ$, e vogliamo calcolarne il valore in $v$.

Il calcolo che effettuo con il calcolatore è affetto da vari tipi di errore.

Errore inerente

è l'errore generato dall'errore di rappresentazione sui dati. È connesso al condizionamento ed è una caratteristica della funzione da calcolare.

Errore algoritmico

è generato dall'errore commesso nelle operazioni in aritmetica floating point. È combinazione lineare degli errori locali delle singole operazioni. È connesso alla stabilità

Errore analitico o di approssimazione

è l'errore generato dall'approssimazione di $f$ non razionale con un'opportuna funzione razionale. È connesso alla convergenza.

Funzioni razionali

Chiamiamo $x$ il valore in cui vogliamo calcolare la funzione, di cui consideriamo il floating $\mathrm{f}\mathrm{l}(x)$, $\psi$ è la funzione effettivamente calcolata. Valore da calcolare: $f(x)$, valore effettivamente calcolato: $\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))$.

Supponiamo di avere $x\ne 0$, e $f$ funzione razionale tale che $f(x)\ne 0$ e $f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))\ne 0$. Vogliamo frammentare l'errore (relativo) totale $\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$ in diversi tipi di errori:

1. errore inerente: $e_{in}=\frac{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$. Si assume che $f$ sia calcolata esattamente, e si considera solo l'errore dipendente dalla rappresentazione dei dati.
2. errore algoritmico: misura l'errore generato dall'uso di $\psi$ al posto di $f$, calcolate nel floating di $v$. La sua espressione è $e_{alg}=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}$

Vale il seguente teorema.

Teorema 1.3

L'errore totale è uguale a $e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$, e al primo ordine è uguale a $e_{alg}+e_{in}$. Inoltre

$e_{in}=\sum _{i=1}^n{c}_i{\epsilon }_{x_i},,c_i=\frac{x_i}{f(x)}\ast \frac{\partial f}{\partial x_i}$

con

$|{\epsilon }_{x_i}|<u$

Dimostrazione

$E_r=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$

$=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(x)}-1$

$=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}\ast \frac{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(x)}-1$

$=(E_{alg}+1)\ast (e_{in}+1)-1$

$e_{alg}+e_{in}+e_{alg}{e}_{in}+1-1$

$=e_{alg}(1+e_{in})+e_{in}$

cvd

Caso generale funzione non razionale

Supponiamo di avere $x\ne 0$, una funzione $f$ non razionale che viene approssimata con una funzione $g$ razionale, e $\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))$ è la funzione effettivamente calcolata.

$E_r=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$

si frammenta in:

1. errore analitico: dipende dal fatto di usare $g$ al posto di $f$, e ha espressione $e_{an}=\frac{g(x)-f(x)}{f(x)}$
2. errore inerente: $e_{in}=\frac{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$
3. errore algoritmico: $E_{alg}=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}$

Teorema 1.4

L'errore totale al primo ordine è dato da

$e_{in}+e_{alg}+e_{an,\mathrm{f}\mathrm{l}(x)}$

con $e_{an,\mathrm{f}\mathrm{l}(x)}=\frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}$

Dimostrazione

$e_r=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(x)}{f(x)}$

$=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(x)}-1$

$=\frac{\psi (\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}\ast \frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(x)}-1$

$=(e_{alg}+1)\frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(x)}-1$

$=(e_{alg}+1)[\frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}\ast \frac{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(x)}]-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)\frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)\frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))+f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)[\frac{g(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))-f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}{f(\mathrm{f}\mathrm{l}(x))}+1]-1$

$=(e_{alg}+1)(e_{in}+1)(e_{an,\mathrm{f}\mathrm{l}(x)}+1)-1$

Al primo ordine

$e_{alg}+e_{in}+e_{an,\mathrm{f}\mathrm{l}(x)}$

cvd

Se $e_{an,x}$ e $e_{an,\mathrm{f}\mathrm{l}(x)}$ differiscono di un termine del secondo ordine, allora vale il risultato con il vero errore analitico.