Comunicazioni elettriche/Richiami di controlli automatici

Dal punto di vista di Comunicazioni Elettriche bisogna osservare che la parte di controlli automatici che serve è in pratica tutta la parte di analisi spettrale e di sviluppo di Fourier.

Lo sviluppo in serie di un segnale ha per definizione la forma
$x(t)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}$

con${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$, detta pulsazione fondamentale, e$c_n=\frac{1}{T}\underset{\frac{T}{2}}{\overset{-\frac{T}{2}}{\int }}x(t)\cdot e^{-jn{\omega }_{0}t}dt$

Dalle formule appena descritte si osserva che i coefficienti che compongono$x(t)$ sono sempre ortogonali. Questo permette di constatare che generalmente si ha una$x(t)$ complessa.

Segnali periodici

Un segnale si dice periodico quando di ha $x(t+T)=x(t)$

Per questo motivo possiamo affermare che
$x(t)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{-1}{c}_n\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}+\underset{valoremediodelsegnale}{\underbrace{c_0}}+\sum _1^{\mathrm{\infty }}{c}_n\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}$ $=\sum _1^{\mathrm{\infty }}{c}_{-n}\cdot e^{-jn{\omega }_{0}t}+c_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}{c}_n\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}$ $=c_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}Re\{2c_n\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}\}$

Questo può portare a due diverse ma comunque corrette interpretazioni della formula, ognuna dovuta ad una diversa analisi dei coefficienti complessi. Infatti possiamo dire due cose:

$c_0=A_0=\frac{1}{2}{a}_0$ $c_n=A_n\cdot e^{-j{\phi }_n}=a_n-j\cdot b_n$

Utilizzando nella formula precedente la prima forma, ovvero la definizione polare, si ha, quindi $x(t)=A_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}Re\{A_n\cdot e^{-j{\phi }_n}\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}\}$ $=A_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t-{\phi }_n)$ nella quale i coefficienti$A_0$ e$A_n$ sono gli elementi dello spettro di ampiezza e le fasi${\phi }_n$ sono gli elementi dello spettro di fase.

Utilizzando al contrario la definizione cartesiana, si ha che $x(t)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}Re\{(a_n-j\cdot b_n)\cdot e^{jn{\omega }_{0}t}\}$ $=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}Re\{(a_n-j\cdot b_n)\cdot (\cos (n{\omega }_{0}t)+j\cdot \sin (n{\omega }_{0}t))\}$ $=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _1^{\mathrm{\infty }}{a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+\sum _1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n)\sin (n{\omega }_{0}t)$ in cui la prima parte è nulla se la funzione è dispari, mentre è nulla la seconda parte se la funzione è pari.

Da queste osservazioni si può notare dunque che lo sviluppo in serie di Fourier di un segnale periodico ha sempre senso dando un numero limitato di armoniche.

Segnali Aperiodici

Diverso è il caso dei segnali aperiodici, per i quali uno sviluppo in serie dà un risultato non utile: un segnale di questo tipo ha infatti infinite armoniche.

Analisi frequenziale

Ora manca solo un collegamento che porti dall'analisi degli spettri di ampiezza e fase ad una analisi puramente frequenziale. Per questo è necessario definire una nuova funzione: $X(\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-j\omega t}dt$ In questo modo possono essere infatti definite due ulteriori funzioni molto utili al fine della costruzione dei diagrammi di Bode, che permettono di osservare il tipo di filtro generato dalla funzione$x(t)$: $V(\omega )=\frac{|X(\omega )|}{\pi }$ $\phi (\omega )=-arg(X(\omega ))$