Controlli automatici/Analisi delle specifiche

Template:Controlli automatici Data $F(s)$, la funzione di trasferimento $C(s)$ del controllore da progettare può essere espressa:

$C(s)=\frac{K_c}{s^h}{C}^{\prime }(s)$

dove:

• $K_c$ è il guadagno stazionario del controllore;
• $h$ è il numero di poli nell'origine;
• $C^{\prime }(s)$ rappresenta la parte dinamica del controllore:
  • è di tipo zero ($C(s)$ deve avere $h$ poli nell'origine);
  • ha guadagno stazionario unitario (il guadagno stazionario di $C(s)$ dev'essere pari a $K_c$).

Sequenza di progetto del controllore

1. si soddisfano le specifiche statiche;
2. si determina il segno del guadagno stazionario $K_c$;
3. si soddisfano le specifiche dinamiche.

Implicazioni delle specifiche statiche

Specifiche statiche

• errore di inseguimento in regime permanente a segnali di riferimento polinomiali;
• reiezione o attenuazione di disturbi polinomiali in regime permanente.

Le specifiche statiche impongono vincoli su:

• numero $h$ di poli nell'origine;
• valore minimo del modulo del guadagno stazionario $K_c$.

L'inserimento di poli nell'origine nell'espressione di $C(s)$ causa una perdita di ${90}^{\circ }$ riducendo il margine di fase $m_{\phi }$ → non vanno inseriti poli non necessari.

Stabilizzabilità del sistema

Il segno del guadagno stazionario $K_c$ viene determinato tramite il diagramma di Nyquist della funzione $\frac{F(s)}{s^h}$: si sceglie il semi-asse reale dove in seguito all'inserimento di $C^{\prime }(s)$ si avranno possibilità di avere l'asintotica stabilità in catena chiusa del sistema.

Implicazioni delle specifiche dinamiche

Specifiche dinamiche

• caratteristiche in transitorio della risposta nel tempo a segnali di riferimento canonici, quali il gradino;
• risposta in frequenza del sistema in catena chiusa;
• inseguimento di segnali sinusoidali;
• attenuazione di disturbi sinusoidali.

Le specifiche nel tempo implicano vincoli sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W\left(j\omega \right)$, che a loro volta implicano vincoli sulla funzione d'anello $G_a\left(j\omega \right)$ (in particolare sul margine di fase $m_{\phi }$ e sulla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$).

Specifiche sulla risposta al gradino

Le specifiche sulla risposta al gradino unitario impongono vincoli sulla risposta in frequenza del sistema in catena chiusa:

• una specifica sulla sovraelongazione massima $\hat{s}$ impone un vincolo sul picco di risonanza $M_r$:

  $\hat{s}\le {\hat{s}}_{\text{max}}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{M}_r\le \frac{(1+{\hat{s}}_{\text{max}})}{0,9}\\ {M_r}_{\text{dB}}\le 20{\log }_{10}\frac{(1+{\hat{s}}_{\text{max}})}{0,9}\end{array}$

• una specifica sul tempo di salita $t_s$ o $t_r$ impone un vincolo sulla banda passante ${\omega }_B$ (un'eccessiva ampiezza di banda passante diminuisce la reiezione ai disturbi):

  $t_s\le {t_s}_{\text{max}}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\omega }_B\ge \frac{3}{{t_s}_{\text{max}}}\end{array}$

  $t_r\le {t_r}_{\text{max}}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\omega }_B\ge \frac{2}{{t_r}_{\text{max}}}\end{array}$

Specifiche sulla risposta in frequenza

Le specifiche sulla risposta in frequenza (formulate direttamente sulla funzione di trasferimento in catena chiusa $W\left(j\omega \right)$ o ricavate da specifiche sulla risposta nel tempo) impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_a(s)$:

• una specifica sul picco di risonanza $M_r$ impone un vincolo sul margine di fase $m_{\phi }$:

  $M_r\le {M_r}_{\text{max}}\Rightarrow m_{\phi }\le {m_{\phi }}_{\text{min}},{m_{\phi }}_{\text{min}}\cong \frac{{60}^{\circ }}{{M_r}_{\text{max}}}\cong {60}^{\circ }-5{{M_r}_{\text{max}}|}_{\text{dB}}$

• una specifica sulla banda passante ${\omega }_B$ impone un vincolo sulla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$:

  ${\omega }_B⋚{{\omega }_B}_{\text{lim}}\Rightarrow {\omega }_c\lessgtr 0,63{{\omega }_B}_{\text{lim}}$

Specifiche sull'errore di inseguimento in regime permanente

Le specifiche sull'errore massimo di inseguimento in regime permanente $E$ di segnali sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_a(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$ rispetto alla pulsazione del segnale ${\omega }_0$:

$E\le E_{\text{max}}\Rightarrow G_a\left(j{\omega }_0\right)\gg 1\Rightarrow {\omega }_c\gg {\omega }_0$

Specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali

Le specifiche sull'attenuazione di disturbi sinusoidali impongono vincoli sulla funzione d'anello $G_a(s)$, in particolare sul valore della pulsazione di cross-over ${\omega }_c$ rispetto alla pulsazione del disturbo ${\omega }_d$, che variano a seconda del punto di ingresso del disturbo.