Controlli automatici/Criterio di Nyquist

Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$:

$W_y(s)=\frac{G_a(s)}{1\mp G_a(s)}$

non ha poli sull'asse immaginario (cioè a parte reale nulla) ↔ il diagramma di Nyquist della funzione d'anello $G_a(s)$ non passa per il punto $(\pm 1,0)$, detto punto critico di Nyquist.

Criterio di Nyquist

Il sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$ sono asintoticamente stabili (cioè hanno parte reale $<0$):

$n_{i,c}=n_{i,a}+N=0$

dove:

• $n_{i,c}\ge 0$ è il numero di poli instabili (cioè a parte reale $>0$) della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$;
• $n_{i,a}\ge 0$ è il numero di poli instabili (cioè a parte reale $>0$) della funzione d'anello $G_a(s)$;
• $N$ è il numero di giri compiuti in senso orario dal diagramma di Nyquist della funzione d'anello $G_a\left(j\omega \right)$ attorno al punto $(\pm 1,0)$ al variare di $\omega$ (i giri anti-orari sono da conteggiarsi come negativi).

Se la funzione d'anello $G_a(s)$ del sistema è definita a meno di un fattore di guadagno variabile $K_C$:

$G_a(s)=K_C{G_a}_f(s)$

dove:

• $K_C\in ℝ$ è il guadagno stazionario del controllore (coincide con il controllore stesso se il controllore è puramente statico);
• ${G_a}_f$ include la eventuale parte dinamica del controllore (completamente definita) e la funzione di trasferimento del sistema da controllare dato;

allora è sufficiente applicare il criterio di Nyquist a ${G_a}_f(s)$ considerando come critico il punto $(\pm \frac{1}{K_C},0)$ per individuare i valori di $K_C$ per cui il sistema è asintoticamente stabile.