Controlli automatici/Diagrammi e carta di Nichols

Diagramma e carta di Nichols

Il diagramma di Nichols di una funzione di trasferimento $G(s)$ permette di analizzarne la risposta in frequenza tramite la sua rappresentazione grafica nel piano cartesiano di Nichols ${\mathrm{\angle }G(j\omega )|}_{\text{gradi}}\otimes {|G(j\omega )|}_{\text{dB}}$:

$G(j\omega )=|G(j\omega )|e^{j\mathrm{\angle }G(j\omega )},\omega >0$

La carta di Nichols è costituita dai luoghi a modulo costante $M$ e a fase costante $N$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$, tracciati sul piano di Nichols ${\mathrm{\angle }G(j\omega )|}_{\text{gradi}}\otimes {|G(j\omega )|}_{\text{dB}}$.

Margini di stabilità

Margini di guadagno e di fase letti sul diagramma di Nichols

Margini di stabilità letti sul diagramma di Nichols sovrapposto alla carta di Nichols

I margini di guadagno ${m_G}_{\text{dB}}$ e di fase $m_{\phi }$ possono essere letti sul diagramma di Nichols della funzione d'anello $G_a(s)$.

Sovrapponendo alla carta di Nichols il diagramma di Nichols della funzione d'anello $G_a(s)$, è possibile ricavare il valore di modulo e fase della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$ al variare della pulsazione $\omega$.

Il picco di risonanza $M_r$ della funzione di trasferimento in catena chiusa $W_y(s)$ non supera un valore limite ${M_r}_{\text{lim}}$, garantendo una buona robustezza della stabilità, se e solo se il diagramma di Nichols della funzione d'anello $G_a(j\omega )$ è esterno alla curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante pari a ${M_r}_{\text{lim}}$:

• se il picco di risonanza $M_r$ non supera il valore limite ${M_r}_{\text{lim}}$, allora il margine di fase $m_{\phi }$ è maggiore del valore limite ${m_{\phi }}_{\text{lim}}$:

  $M<{M_r}_{\text{lim}}\Rightarrow m_{\phi }>{m_{\phi }}_{\text{lim}}$

dove il valore limite ${m_{\phi }}_{\text{lim}}$ è il margine di fase letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante $M$ pari a ${M_r}_{\text{lim}}$:

$\{\begin{array}{c}{{m_{\phi }}_{\text{lim}}|}_{\text{rad}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\left(\frac{\sqrt{4{M_r^2}_{\text{lim}}-1}}{2{M_r^2}_{\text{lim}}-1}\right)\\ {{m_{\phi }}_{\text{lim}}|}_{\text{gradi}}\cong 60^{\circ }-5{{M_r}_{\text{lim}}|}_{\text{dB}},0\text{ dB}<{M_r}_{\text{lim}}<6\text{ dB}\end{array}$

• se il picco di risonanza $M_r$ non supera il valore limite ${M_r}_{\text{lim}}$, allora il margine di guadagno $m_G$ è maggiore del valore limite ${m_G}_{\text{lim}}$:

  $M<{M_r}_{\text{lim}}\Rightarrow m_G>{m_G}_{\text{lim}}$

dove il valore limite ${m_G}_{\text{lim}}$ è il margine di guadagno letto in corrispondenza della curva della carta di Nichols corrispondente a modulo costante $M$ pari a ${M_r}_{\text{lim}}$:

$\{\begin{array}{c}{m_G}_{\text{lim}}=\frac{{M_r}_{\text{lim}}}{{M_r}_{\text{lim}}+1}\\ {{m_G}_{\text{lim}}|}_{\text{dB}}\cong 6-0,4{{M_r}_{\text{lim}}|}_{\text{dB}},0\text{ dB}<{M_r}_{\text{lim}}<6\text{ dB}\end{array}$