Controlli automatici/Riferimenti e disturbi sinusoidali

Template:Controlli automatici La risposta in frequenza descrive la risposta in regime permanente $y_p(t)$ di un sistema asintoticamente stabile a un segnale sinusoidale.

Precisione in regime permanente

Inseguimento di segnali sinusoidali

Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato l'ingresso di riferimento sinusoidale $r(t)$:

$r(t)=\sin \left({\omega }_{0}t\right)$

l'errore di inseguimento in regime permanente $e_p(t)$ è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento d'errore $W_e(s)$ all'ingresso $r(t)$:

$e_p(t)=E\sin ({\omega }_{0}t+{\phi }_e)$

dove:

• $E=\left|W_e\left(j{\omega }_0\right)\right|$
• ${\phi }_e=\arg \left(W_e\left(j{\omega }_0\right)\right)$
• $W_e(s)=\frac{e(s)}{r(s)}=\frac{K_r}{1+G_a(s)}$

L'errore di inseguimento in regime permanente $e_p(t)$ massimo, pari a $E$ (per le proprietà del seno), è piccolo se la funzione d'anello $G_a(s)$ è sufficientemente grande alla pulsazione ${\omega }_0$ dell'ingresso:

$E=\left|\frac{K_r}{1+G_a\left(j{\omega }_0\right)}\right|$

Implicazioni sul progetto del controllore

Le specifiche di precisione relative all'errore di inseguimento in regime permanente $e_p(t)$ a segnali di riferimento sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello $G_a(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$ rispetto alla pulsazione ${\omega }_0$ dell'ingresso:

$\left|e_p\right|\le {e_p}_{\text{max}}\Rightarrow E\le {e_p}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_a\left(j{\omega }_0\right)\right|\ge {G_a}_{\text{min}}\Rightarrow {\omega }_0\ll {\omega }_c\Rightarrow {\omega }_B\gg {\omega }_0$

Reiezione di disturbi in regime permanente

Effetti sull'uscita in regime permanente di disturbi sinusoidali

Sotto l'ipotesi di asintotica stabilità del sistema in catena chiusa, dato il disturbo sinusoidale $d_{\text{sin}}(t)$:

$d_{\text{sin}}(t)=D_s\sin \left({\omega }_{d}t\right)$

l'effetto ${y_p}_{\text{sin}}(t)$ sull'uscita in regime permanente $y_p(t)$ è dato dalla risposta in frequenza della funzione di trasferimento $W_{d_{\text{sin}}}(s)$ al disturbo $d_{\text{sin}}(t)$:

${y_p}_{\text{sin}}(t)=Y_{d,p}\sin ({\omega }_{d}t+{\phi }_d)$

dove:

• $Y_{d,p}=D_s\left|W_{d_{\text{sin}}}\left(j{\omega }_d\right)\right|$
• ${\phi }_d=\arg \left(W_{d_{\text{sin}}}\left(j{\omega }_d\right)\right)$
• $W_{d_{\text{sin}}}(s)=\frac{y(s)}{d_{\text{sin}}(s)}$

L'effetto ${y_p}_{\text{sin}}$ massimo del disturbo sull'uscita in regime permanente, pari a $Y_{d,p}$ (per le proprietà del seno), è piccolo, cioè il disturbo $d_{\text{sin}}(t)$ è molto attenuato, se il modulo della funzione di trasferimento $W_{d_{\text{sin}}}(s)$ è sufficientemente piccolo alla pulsazione del disturbo ${\omega }_d$.

Disturbo posto sull'uscita

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale ${d_y}_{\text{sin}}(t)$ posto sull'uscita $y(t)$ è tanto più elevata quanto è grande la funzione d'anello $G_a(s)$ alla pulsazione ${\omega }_d$ del disturbo → sono ben attenuati disturbi di bassa frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$:

$W_{{d_y}_{\text{sin}}}(s)=\frac{1}{1+G_a(s)}$

Disturbo posto sul riferimento

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale ${d_r}_{\text{sin}}(t)$ posto sul riferimento $y_{\text{des}}(t)$ è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello $G_a(s)$ alla pulsazione ${\omega }_d$ del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$:

$W_{{d_r}_{\text{sin}}}(s)=\frac{G_a(s)}{1+G_a(s)}$

Disturbo posto sulla retroazione

L'attenuazione di un disturbo sinusoidale ${d_m}_{\text{sin}}(t)$ posto sulla retroazione è tanto più elevata quanto è piccola la funzione d'anello $G_a(s)$ alla pulsazione ${\omega }_d$ del disturbo → sono ben attenuati disturbi di alta frequenza rispetto alla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$:

$W_{{d_m}_{\text{sin}}}(s)=-\frac{G_a(s)}{1+G_a(s)}=-W_{{d_r}_{\text{sin}}}(s)$

Implicazioni sul progetto del controllore

Le specifiche sull'attenuazione in regime permanente di disturbi sinusoidali impongono vincoli sull'andamento in frequenza della funzione d'anello $G_a(s)$, in particolare sulla pulsazione di cross-over ${\omega }_c$ rispetto alla pulsazione ${\omega }_d$ del disturbo:

• disturbo posto sull'uscita:

  ${y_p}_{\text{sin}}(t)\le {{y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow Y_{d,p}\le {{y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_a\left(j{\omega }_d\right)\right|\ge {G_a}_{\text{min}}\Rightarrow {\omega }_d\ll {\omega }_c\Rightarrow {\omega }_B\gg {\omega }_d$

• disturbo posto sul riferimento o sulla retroazione:

  ${y_p}_{\text{sin}}(t)\le {{y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow Y_{d,p}\le {{y_p}_{\text{sin}}}_{\text{max}}\Rightarrow \left|G_a\left(j{\omega }_d\right)\right|\le {G_a}_{\text{max}}\Rightarrow {\omega }_d\gg {\omega }_c\Rightarrow {\omega }_B\ll {\omega }_d$