Controlli automatici/Risposta transitoria e in frequenza

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Analisi della dipendenza tra catena aperta e catena chiusa

Ipotesi

la funzione d'anello $G_{a} (s)$ è strettamente propria con $m_{a}$ zeri e $n_{a} > m_{a}$ poli;
la funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y} (s)$ è strettamente propria con $m_{W}$ zeri e $n_{W} > m_{W}$ poli;
il diagramma di Bode del modulo della funzione d'anello $G_{a} (s)$ arriva da $+ \infty$ a basse frequenze, taglia l'asse delle ascisse in corrispondenza della pulsazione di cross-over $ω_{c}$ e va verso $- \infty$ ad alte frequenze.

Dipendenze tra la funzione d'anello $G_{a} (s)$ e la funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y} (s)$: $W_{y} (s) = \frac{N_{W} (s)}{D_{W} (s)} = \frac{G_{a} (s)}{1 + G_{a} (s)} = \frac{N_{a} (s)}{D_{a} (s) + N_{a} (s)}$

$G_{a} (s)$ e $W_{y} (s)$ hanno gli stessi zeri:
$\forall ω : N_{a} (s) = N_{W} (s) \Rightarrow {\begin{matrix} m_{W} = m_{A} \\ {ζ_{W}}_{j} = {ζ_{a}}_{j}, j = 1, \dots, m_{a} \end{matrix}$
$G_{a} (s)$ e $W_{y} (s)$ hanno lo stesso numero di poli:
$\forall ω : D_{W} (s) = D_{a} (s) + N_{a} (s) \Rightarrow n_{W} = n_{A}$
in bassa frequenza, $W_{y} (s)$ è approssimabile a 1, e i poli di $W_{y} (s)$ sono approssimabili ai suoi zeri (uguali agli zeri di $G_{a} (s)$ ):
$ω ≪ ω_{c} : | G_{a} (s) | ≫ 1 \Rightarrow D_{W} (s) ≅ N_{W} (s) = N_{a} (s) \Rightarrow \forall λ_{W}, ζ_{a} : λ_{W} \approx ζ_{a} \Rightarrow W_{y} (s) ≅ 1$
nella banda intorno alla pulsazione di cross-over $ω_{c}$ , $W_{y} (s)$ è approssimabile a una dinamica del 2º ordine (coppia di poli complessi coniugati):
$W_{y} (s) ≅ \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}$
in alta frequenza, $W_{y} (s)$ è approssimabile a $G_{a} (s)$ , e i poli di $W_{y} (s)$ sono approssimabili ai poli di $G_{a} (s)$ (in alta frequenza la catena rimane aperta):
$ω ≫ ω_{c} : | G_{a} (s) | ≪ 1 \Rightarrow \frac{N_{W} (s)}{D_{W} (s)} ≅ \frac{N_{a} (s)}{D_{a} (s)} \Rightarrow \forall λ_{W}, λ_{a} : λ_{W} \approx λ_{a} \Rightarrow W_{y} (s) ≅ G_{a} (s)$

Dinamica nel tempo e in frequenza dei sistemi del 2º ordine

Ipotesi

La funzione di trasferimento in catena chiusa $W_{y} (s)$ è approssimata ad un modello di riferimento ${W_{y}}_{rif} (s)$ che ha la sola dinamica del 2º ordine:

{W_{y}}_{rif} (s) = \frac{ω_{n}^{2}}{s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2}}

dove $ω_{n}$ è dato e $ζ \in (0, 3; 0, 7)$ .

La corrispondente funzione d'anello di riferimento ${G_{a}}_{rif} (s)$ è di tipo 1:

{G_{a}}_{rif} (s) = \frac{{W_{y}}_{rif} (s)}{1 - {W_{y}}_{rif} (s)} = \frac{ω_{n}^{2}}{s (s + 2 ζ ω_{n})}

Parametri caratteristici della funzione d'anello di riferimento ${G_{a}}_{rif} (s)$

guadagno stazionario di velocità $K_{v}$ :
$K_{v} = \frac{ω_{n}}{2 ζ}$
pulsazione di cross-over $ω_{c}$ :
$ω_{c} = ω_{n} \sqrt{- 2 ζ^{2} + \sqrt{1 + 4 ζ^{4}}}$
margine di fase $m_{ϕ}$ :
$m_{ϕ} = a r c t g (\frac{2 ζ ω_{n}}{ω_{c}})$
margine di guadagno $m_{G}$ : è infinito perché ${G_{a}}_{rif}$ non ha mai fase pari a $- 180^{\circ}$ .

Parametri caratteristici della funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento ${W_{y}}_{rif} (s)$

guadagno stazionario $K_{{W_{y}}_{rif}}$ :^[1]
$K_{{W_{y}}_{rif}} = {W_{y}}_{rif} (0) = 1$
picco di risonanza $M_{r}$ :
$M_{r} = \frac{\max (| {W_{y}}_{rif} (j ω) |)}{| K_{{W_{y}}_{rif}} |} = \frac{| {W_{y}}_{rif} (j ω_{r}) |}{1} = \frac{1}{2 ζ \sqrt{1 - ζ^{2}}}, {\begin{matrix} 0 < ζ < \frac{\sqrt{2}}{2} \\ ω_{r} = ω_{n} \sqrt{1 - 2 ζ^{2}} \end{matrix}$
pulsazione $ω_{B}$ relativa alla banda passante a $- 3 dB$ :
$ω_{B} = ω_{n} R, {\begin{matrix} R = \sqrt{1 - 2 ζ^{2} + \sqrt{2 - 4 ζ^{2} + 4 ζ^{4}}} \\ \forall ω \leq ω_{B} : \frac{| {W_{y}}_{rif} (j ω) |}{| K_{{W_{y}}_{rif}} |} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} \approx - 3 dB \end{matrix}$

risposta al gradino unitario:
${y_{g}}_{{W_{y}}_{rif}} (t) = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - ζ^{2}}} e^{- ζ ω_{n} t} \sin (\sqrt{1 - ζ^{2}} ω_{n} t + ϕ), ϕ = a r c t g (\sqrt{\frac{1}{ζ^{2}} - 1})$
- $\hat{s}$ : sovraelongazione massima (relativa);
- $\hat{t}$ : tempo corrispondente a $\hat{s}$ ;
- $t_{s}$ : tempo di salita;
- $t_{r}$ : tempo di salita dal 10% al 90%;
- $t_{a ε}$ : tempo di assestamento a $\pm ε$ .

Relazioni notevoli per la funzione di trasferimento in catena chiusa di riferimento ${W_{y}}_{rif} (s)$

$\hat{s} = e^{- \frac{π ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}}$
$ω_{B} t_{r} ≅ \frac{2, 048 R}{1, 561 - ζ} - 0, 2923 R ≅ 2$
$ω_{B} t_{s} = \frac{R}{\sqrt{1 - ζ^{2}}} (π - a r c t g \sqrt{ζ^{- 2} - 1}) ≅ 3$
$ω_{B} \hat{t} = \frac{π R}{\sqrt{1 - ζ^{2}}} ≅ 4, 5$
$ω_{B} t_{a ε} ≅ \frac{- \log (ε \sqrt{1 - ζ^{2}})}{ζ} R$
$\frac{ω_{c}}{ω_{B}} = \frac{\sqrt{- 2 ζ^{2} + \sqrt{1 + 4 ζ^{4}}}}{R} ≅ 0, 63$
$\frac{1 + \hat{s}}{M_{r}} = 2 ζ \sqrt{1 - ζ^{2}} (1 + e^{- π \frac{ζ}{\sqrt{1 - ζ^{2}}}}) ≅ 0, 9$
$m_{φ} M_{r} = \frac{1}{2 ζ \sqrt{1 - ζ^{2}}} a r c t g \frac{2 ζ}{\sqrt{- 2 ζ^{2} + \sqrt{1 + 4 ζ^{4}}}} ≅ 1, 05 rad ≅ 6 0^{\circ}$

Note

↑ Come visto al capitolo precedente, si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.

[1] Come visto al capitolo precedente, si tratta di un'approssimazione, che diventa un'eguaglianza solo in presenza di almeno un polo nell'origine.

[1]

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