Elaborazione numerica dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta

Template:Elaborazione numerica dei segnali Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:

$\{\begin{array}{c}y\left(n\right)=h\left(n\right)\ast x\left(n\right)\\ Y\left(z\right)=H\left(z\right)X\left(z\right)\end{array}$

Interconnessione di sistemi LTI

Serie		$y\left(n\right)=x\left(n\right)\ast h_1\left(n\right)\ast h_2\left(n\right)$ $Y\left(z\right)=X\left(z\right)H_1\left(z\right)H_2\left(z\right)$
Parallelo		$y\left(n\right)=x\left(n\right)\ast [h_1\left(n\right)+h_2\left(n\right)]$ $Y\left(z\right)=X\left(z\right)[H_1\left(z\right)+H_2\left(z\right)]$
Con reazione		$y\left(n\right)=[x\left(n\right)-y\left(n\right)\ast h_2\left(n\right)]\ast h_1\left(n\right)$ $Y\left(z\right)=X\left(z\right)\frac{H_1\left(z\right)}{1+H_1\left(z\right)H_2\left(z\right)}$

La regione di convergenza della trasformata $Y\left(z\right)$ coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni $X\left(z\right)$ e $H\left(z\right)$ (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).

Filtri digitali

Un filtro digitale è un sistema LTI causale e scarico:

$\{\begin{array}{c}y\left(n\right)=\stackrel{\text{ricorsivo}}{\overbrace{-\sum _{k=1}^M{a}_{k}y(n-k)}}+\stackrel{\text{non ricorsivo}}{\overbrace{\sum _{k=0}^N{b}_{k}x(n-k)}}\\ Y^{+}\left(z\right)=\frac{\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}}{1+\sum _{k=1}^M{a}_k{z}^{-k}}{X}^{+}\left(z\right)=H_N\left(z\right)H_R\left(z\right)X^{+}\left(z\right)\end{array}$

Filtri FIR non ricorsivi

Un sistema LTI causale con risposta all'impulso $h\left(n\right)$ a supporto finito può essere descritto:

$\{\begin{array}{c}y\left(n\right)=\sum _{k=0}^N{b}_{k}x(n-k)\\ H_N\left(z\right)=\sum _{z=0}^N{b}_k{z}^{-k}\end{array}$

Vantaggi dei filtri FIR

• Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:

  $H\left(z\right)=\sum _{n=0}^{M-1}{a}_n{z}^{-n}$

possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).

• Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.

Filtri IIR puramente ricorsivi

Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:

$\{\begin{array}{c}y\left(n\right)=-\sum _{k=1}^M{a}_{k}y(n-k)\\ H_R\left(z\right)=\frac{1}{1+\sum _{k=1}^M{a}_k{z}^{-k}}\end{array}$

Vantaggio dei filtri IIR

Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.

Sistemi LTI non scarichi

Se le condizioni iniziali $y(-1),y(-1),\dots ,y(-M)$ non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di $y\left(n\right)$ e $x\left(n\right)$ presi in valori negativi (da $-k$ a $-1$, con $k>0$):

$\{\begin{array}{c}y\left(n\right)=-\sum _{k=1}^M{a}_{k}y(n-k)+\sum _{k=0}^N{b}_{k}x(n-k)\\ Y\left(z\right)=-\sum _{k=1}^M{a}_k{z}^{-k}[Y^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{k}y(-n)z^n]+\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{k}x(-n)z^n]\end{array}$

Stabilità di sistemi LTI

Sistemi LTI causali

Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso $h\left(n\right)$:

$y\left(n\right)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}h\left(k\right)\ast x(n-k)$

è sommabile in modulo:

$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left|h\left(n\right)\right|\in ℝ$

Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza $H\left(z\right)$ appartengono al cerchio di raggio unitario. Template:Cassetto

Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI anti-causali

Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza $H\left(z\right)$ non appartengono al cerchio di raggio unitario.

Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI bilateri

Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.

Realizzabilità fisica di sistemi LTI causali

Un sistema LTI causale è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso $h\left(n\right)$ è reale, ossia ogni coefficiente $b_i$ e $a_i$ della sua risposta in frequenza $H\left(z\right)$:

$H\left(z\right)=\frac{\sum _{k=0}^N{b}_k{z}^{-k}}{1+\sum _{k=1}^M{a}_k{z}^{-k}}$

è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.

Sistemi inversi

Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata $H\left(z\right)$:

$H_I\left(z\right)=H^{-1}\left(z\right)=\frac{1}{H\left(z\right)}$

Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.

La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:

$\{\begin{array}{c}{H}_C\left(z\right)=H\left(z\right)H_I\left(z\right)=1\\ h_c\left(n\right)=\delta \left(n\right)\end{array}$

Se $H\left(z\right)$ ha forma razionale:

$H\left(z\right)=\frac{b_0}{a_0}\frac{\prod _{i=1}^{p_n}(1-c_i{z}^{-1})}{\prod _{i=1}^{p_d}(1-d_i{z}^{-1})}$

la risposta in frequenza $H_I\left(z\right)$ del sistema inverso vale:

$H_I\left(z\right)=\frac{b_0}{a_0}\frac{\prod _{i=1}^{p_d}(1-d_i{z}^{-1})}{\prod _{i=1}^{p_n}(1-c_i{z}^{-1})}$

Se il sistema inverso è causale, gli zeri $c_i$ del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri $c_i$ del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.