Elaborazione numerica dei segnali/Campionamento e quantizzazione

Quantizzazione

Un quantizzatore con risoluzione $n_q$ suddivide l'intervallo di ampiezze $[-V,V]$ in un numero finito $L=2^{n_q}$ intervalli di ampiezza uniforme:

$\mathrm{\Delta }=\frac{2V}{L}$

Al centro di ogni intervallo vi è un livello, che è rappresentato da una sequenza di $n_q$ bit.

L'operazione di quantizzazione permette di rappresentare un segnale in forma numerica: ogni campione della sequenza reale $x\left[n\right]$ campionata viene approssimato al livello associato all'intervallo a cui appartiene:

$y=Q\left[x\left(n{T}_c\right)\right]=\{\begin{array}{cc}-V+\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }& \text{se }x\left(n{T}_c\right)\in (-V,-V+\mathrm{\Delta })\\ -V+\frac{3}{2}\mathrm{\Delta }& \text{se }x\left(n{T}_c\right)\in (-V+\mathrm{\Delta },-V+2\mathrm{\Delta })\\ ⋮& ⋮\\ V-\frac{3}{2}\mathrm{\Delta }& \text{se }x\left(n{T}_c\right)\in (V-2\mathrm{\Delta },V-\mathrm{\Delta })\\ V-\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }& \text{se }x\left(n{T}_c\right)\in (V-\mathrm{\Delta },V)\end{array}$

La caratteristica ingresso/uscita di un quantizzatore $Q$ è una scalinata a $L$ livelli:

Errore di quantizzazione

Si definisce errore (o rumore) di quantizzazione ${\epsilon }_Q\left[n\right]$ la differenza fra un campione reale $x\left[n\right]$ e la sua versione quantizzata $x_Q\left[n\right]$:

${\epsilon }_Q\left[n\right]=x\left[n\right]-x_Q\left[n\right]$

Rapporto segnale rumore

La qualità del segnale quantizzato è espressa in termini del rapporto segnale rumore $\text{SNR}$:

${\text{SNR}}_Q=\frac{P_S}{P_N}$

dove:

• $P_S$ è la potenza del segnale non ancora quantizzato $x\left[n\right]$:

  $P_S=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N{\left|x\left[n\right]\right|}^2=\frac{V^2}{3}$

• $P_N$ è la potenza del rumore di quantizzazione ${\epsilon }_Q\left[n\right]$:

  $P_N=\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2N+1}\sum _{n=-N}^N{\left|{\epsilon }_Q\left[n\right]\right|}^2=\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$

Assumendo che la dinamica del quantizzatore $D$ sia uguale alla dinamica del segnale ($D=2V$), si ricava che il rapporto segnale rumore $\text{SNR}$ si riduce all'aumentare del numero di livelli $L$:

${\text{SNR}}_Q=L^2$

Ogni bit aggiuntivo di risoluzione incrementa di 6 dB il rapporto segnale rumore:

${{\text{SNR}}_Q|}_{\text{dB}}\cong 6n_Q$

Se invece la dinamica del quantizzatore $D$ è sganciata da quella del segnale ($D<2V$), compare un addendo logaritmico:

${{\text{SNR}}_Q|}_{\text{dB}}\cong 6n_Q+10{\log }_{10}\left(\frac{4V^2}{D^2}\right)$