Elettrodinamica classica/Approssimazione di dipolo

L'approssimazione di dipolo corrisponde a tenere solo il primo termine nell'approssimazione di $A^{\mu }$, e considerare solo i termini spaziali:

$\overrightarrow{A}(x)=\frac{1}{4\pi r}\int \overrightarrow{j}(t-r;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}$

Infatti, se volessimo valutare il termine relativo alla componente temporale di $A^{\mu }$, tenendo conto che $j^0=c\rho$:

$A^0(x)=\frac{1}{4\pi rc}\underset{=Q(t-\frac{r}{c})}{\underbrace{\int \rho (t-\frac{r}{c};\overrightarrow{y})}}{d}^3\overrightarrow{y}+\frac{1}{4\pi r{c}^2}\int \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}{\partial }_0\rho (t-\frac{r}{c};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}$

ove $Q$ è la carica elettrica totale. Questa non è una vera e propria approssimazione di dipolo, in quanto è presente anche un termine di ordine $1/c^2$. Ora, per dipolo elettrico si intendono due cariche $+q$ e $-q$ tenute a una distanza fissa $d$ fra loro; il momento di dipolo è definito come:

$\overrightarrow{D}=dq\hat{d}$

con $\hat{d}$ versore diretto come la congiungete le due cariche. Con una distribuzione generica di cariche, invece:

$D^i(t)=\int y^i\rho (t;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}$

e si ricade nel caso precedente se l'origine delle coordinate è posta a metà fra le due cariche, e $\rho$ è la somma di due $\delta$, una per $+q$ e una per $-q$. A prima vista, dunque, sembrerebbe che $\overrightarrow{A}$ sia riconducibile a $D^i$ (il secondo integrale che compare in $A^0$ è invece esattamente $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\dot{D}}$). Prendiamo dunque la derivata temporale di $D^i$, tenendo conto che ${\partial }_0\rho =-{\partial }_i{j}^i$ per la continuità della corrente:

$\begin{array}{cc}{\dot{D}}^i(t)& =\int y^i{\partial }_0\rho (t;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}=-\int y^i({\partial }_k{j}^k)d^3\overrightarrow{y}=\\ & =-\int y^i{\partial }_k{j}^k{d}^3\overrightarrow{y}=\int ({\partial }_k{y}^i)j^k{d}^3\overrightarrow{y}-\int {\partial }_k(y^i{j}^k)d^3\overrightarrow{y}\end{array}$

il secondo integrale, sfruttando il teorema di Gauss, è nullo perché la corrente si annulla all'infinito. Dunque:

${\dot{D}}^i(t)=\int {\delta }_k^i{j}^k{d}^3\overrightarrow{y}=\int j^i{d}^3\overrightarrow{y}$

Pertanto:

$\overrightarrow{A}(x)=\frac{1}{4\pi r}\overrightarrow{\dot{D}}(t-r)$

L'espressione esplicita dei campi di dipolo, dunque, è:

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{E}(t-r)& =\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\dot{A}})=\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \frac{1}{4\pi r}\overrightarrow{\ddot{D}}(t-r))=\\ & =\frac{1}{4\pi r}\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\ddot{D}}(t-r))=\frac{1}{4\pi r}[\overrightarrow{n}(\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{\ddot{D}}(t-r))-\overrightarrow{\ddot{D}}(t-r)]\\ \overrightarrow{B}(t-r)& =\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{E}=-\frac{1}{4\pi r}\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\ddot{D}}\end{array}$

Pertanto, $\overrightarrow{E}$ appartiene al piano individuato da $\overrightarrow{\ddot{D}}$ e $\overrightarrow{n}$, ed è ortogonale a quest'ultimo.

Detto quindi $\theta$ l'angolo fra $\overrightarrow{n}$ e $\overrightarrow{\ddot{D}}$, la potenza irradiata è:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=r^2|\overrightarrow{E}{|}^2=\frac{1}{16{\pi }^2}|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\ddot{D}}{|}^2=\frac{1}{16{\pi }^2}|\overrightarrow{\ddot{D}}{|}^2{\sin }^2\theta$

Il fatto che $dW/d\mathrm{\Omega }\propto {\sin }^2\theta$ è tipico dell'approssimazione di dipolo. La potenza emessa massima si ha dunque per $\theta =\pi /2$, ossia in direzione perpendicolare al dipolo, mentre è nulla per $\theta =0$, ossia nella direzione del dipolo. Per determinare la potenza totale emessa, tenendo conto che $d\mathrm{\Omega }=d\phi d\cos \theta$:

$W=\int \frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}d\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{16{\pi }^2}|\overrightarrow{\ddot{D}}{|}^2\underset{=4/3}{\underbrace{{\int }_{-1}^1{\sin }^2\theta d\cos \theta }}=\frac{1}{6\pi }|\overrightarrow{\ddot{D}}{|}^2\Rightarrow W=\frac{1}{6\pi }|\overrightarrow{\ddot{D}}{|}^2$

Un'altra caratteristica importante dell'approssimazione di dipolo è che la quantità di moto totale emessa è nulla. Infatti, si ha:

$\frac{d{P}^i}{dtd\mathrm{\Omega }}=n^i\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}\Rightarrow \frac{d{P}^i}{dt}=\int n^i\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}d\mathrm{\Omega }=\int n^i\frac{1}{16{\pi }^2}|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{\ddot{D}}{|}^{2}d\mathrm{\Omega }$

Ora, $dW/d\mathrm{\Omega }$ è una funzione pari di $\overrightarrow{n}$ (il che è un'altra caratteristica dell'approssimazione di dipolo), dunque $\overrightarrow{n}dW/d\mathrm{\Omega }$ è dispari in $\overrightarrow{n}$, e quindi l'integrale è nullo perché esteso a un dominio pari. Quindi:

$\frac{d{P}^i}{dt}=0$

Esempio. Sistema di cariche in moto. In questo caso:

$\rho (t;\overrightarrow{y})=\sum _r{e}_r\delta (\overrightarrow{y}-{\overrightarrow{y}}_r(t))\Rightarrow \overrightarrow{D}(t)=\sum _r{e}_r{\overrightarrow{y}}_r(t)\Rightarrow \overrightarrow{\ddot{D}}(t)=\sum _r{e}_r{\overrightarrow{a}}_r(t)$

Dunque:

$W=\frac{1}{6\pi }{\left|\sum _r{e}_r{\overrightarrow{a}}_r\right|}^2$

Nel caso in cui ci sia una sola particella:

$W=\frac{1}{6\pi }{e}^2|\overrightarrow{a}{|}^2$

nota come formula di Larmor. Da notare che i campi sono lineari, mentre la potenza no: il campo totale di un sistema di cariche è la somma dei campi delle singole particelle, mentre ciò non accade per la potenza emessa.

Ci sono alcuni casi nei quali, in approssimazione di dipolo, la potenza totale emessa è nulla, e dunque non c'è irraggiamento.

Esempio. Un sistema isolato di particelle identiche; in realtà basta molto meno, ossia che il rapporto carica/massa sia lo stesso per tutte le particelle, ossia $e_r/m_r=e/m$ $\mathrm{\forall }r$. Infatti in questo caso:

$\overrightarrow{D}=\sum _r{e}_r{\overrightarrow{y}}_r=\sum _r{m}_r\frac{e_r}{m_r}{\overrightarrow{y}}_r=\sum _r{m}_r\frac{e}{m}{\overrightarrow{y}}_r=\frac{e}{m}\sum _r{m}_r{\overrightarrow{y}}_r=\frac{e}{m}{\overrightarrow{y}}_{\text{cdm}}{M}_{TOT}\Rightarrow$

$\Rightarrow \overrightarrow{\dot{D}}=\frac{e}{m}{M}_{TOT}{\dot{\overrightarrow{y}}}_{\text{cdm}}\Rightarrow \overrightarrow{\ddot{D}}=\frac{e}{m}{M}_{TOT}{\ddot{\overrightarrow{y}}}_{\text{cdm}}=0$

e $M_{TOT}{\ddot{\overrightarrow{y}}}_{\text{cdm}}=0$ per via del fatto che il sistema è isolato.

Esempio. Distribuzioni sferiche di carica. In questo caso, infatti:

$\rho (t;\overrightarrow{y})=\rho (t,|\overrightarrow{y}|)D^i=\int y^i\rho (t,|\overrightarrow{y}|)d^3\overrightarrow{y}=0$

ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che $\rho$ è pari in $\overrightarrow{y}$, dunque $\overrightarrow{y}\rho (t,|\overrightarrow{y}|)$ è dispari in $\overrightarrow{y}$, e l'integrale è esteso a un dominio pari. Dunque:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=0$

In realtà, per distribuzioni sferiche di carica non c'è irraggiamento in nessun ordine dello sviluppo in multipoli; ciò lo si può verificare calcolando i momenti di dipolo di ordine superiore (vedremo poi cosa sono), oppure sfruttando il teorema di Birkhoff.