Elettrodinamica classica/Azione d'interazione campo-particella

Vogliamo ora riprodurre i termini d'interazione campo-particella, ossia vogliamo riprodurre le equazioni di Maxwell nella forma ${\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=j^{\nu }$. Supponiamo che $j^{\nu }$ sia una sorgente esterna, cioè non dipendente dai campi, tale che ${\partial }_{\nu }{j}^{\nu }=0$. Dobbiamo dunque aggiungere alla lagrangiana dei campi liberi il termine $j^{\nu }{A}_{\nu }$:

$ℒ=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-j_{\nu }{A}^{\nu }$

Infatti:

$\begin{array}{c}\delta I=-\frac{1}{4}\delta \int F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }{d}^{4}x-\delta \int j^{\nu }{A}_{\nu }{d}^{4}x=\\ =\int {\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }\delta A_{\nu }{d}^{4}x-\int j^{\nu }\delta A_{\nu }{d}^{4}x\end{array}$

ove l'ultimo passaggio è dovuto al fatto che $j^{\nu }$ non dipende dai campi, e quindi la variazione agisce solo su $A_{\nu }$. Pertanto:

$\delta I=0\mathrm{\forall }\delta A_{\nu }⟺{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }-j^{\nu }=0⟹{\partial }_{\mu }{F}^{\mu \nu }=j^{\nu }$

Si potrebbe obiettare che si è aggiunto a $ℒ$ un termine contenente direttamente $A_{\nu }$. In realtà ciò non ha effetti sulle equazioni del moto; se infatti effettuiamo la trasformazione di gauge $A_{\nu }⟶A_{\nu }+{\partial }_{\nu }\mathrm{\Lambda }$ si ha:

$ℒ⟶{ℒ}^{\prime }=ℒ-j^{\nu }{\partial }_{\nu }\mathrm{\Lambda }=ℒ-{\partial }_{\nu }(j^{\nu }\mathrm{\Lambda })$

e dunque poiché $ℒ$ è invariante di gauge a meno di quadridivergenze, l'azione è invariante di gauge.