Elettrodinamica classica/Distribuzione angolare

Studiamo ora la distribuzione angolare della radiazione emessa nel caso ultrarelativistico. Come abbiamo visto, nel caso non relativistico la potenza emessa dipendeva dalla direzione relativa all'accelerazione della particella, e dipendeva in particolare dal quadrato del seno dell'angolo fra la direzione di osservazione e quella dell'accelerazione. In particolare, dunque, la potenza emessa era massima in direzione perpendicolare all'accelerazione della particella. Vedremo ora che nel caso ultrarelativistico la situazione è completamente diversa. La formula esatta per la potenza totale emessa per unità di angolo solido è (sfruttando l'espressione di $\overrightarrow{E}$ data dai campi di Lienard-Wiechert):

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=r^2|\overrightarrow{E}{|}^2=\frac{e^2}{16{\pi }^2}\frac{|\overrightarrow{n}\times [(\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{a}]{|}^2}{(1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}{)}^6}$

Nel caso non relativistico avevamo $1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}\approx 1$; nel caso ultrarelativistico è invece proprio questo termine che ci consente di capire la distribuzione angolare della radiazione. Se infatti si ha $\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v$, allora $1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}\approx 1-v\stackrel{v\to 1}{\to }0$; dunque, la potenza emessa tende a divergere se $\overrightarrow{n}$ è circa collineare alla velocità della particella. La direzione "di riferimento" in questo caso, dunque, è quella di $\overrightarrow{v}$. A numeratore, poi, c'è un termine $\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v}$, che per $\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v$ tende a zero, compensando la divergenza del denominatore. Per comprendere meglio la situazione, riscriviamo la formula come:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{e^2}{16{\pi }^2}\frac{|\overrightarrow{n}\times [(\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v})\times \overrightarrow{a}]{|}^2}{(1-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}{)}^2}\frac{1}{(1-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}{)}^4}$

Se dunque $\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v$, si avrà:

$\frac{\overrightarrow{n}-\overrightarrow{v}}{1-\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{v}}\stackrel{\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v}{\to }\frac{\overrightarrow{n}-v\overrightarrow{n}}{1-v}=\overrightarrow{n}$

Pertanto, il termine centrale nell'espressione di $dW/d\mathrm{\Omega }$ è costante, e quindi:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}\stackrel{\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v}{\sim }\frac{e^2}{16{\pi }^2}|\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a}){|}^2\frac{1}{(1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}{)}^4}$

e poiché $|\overrightarrow{n}\times (\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a})|=|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a}|$:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}\stackrel{\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v}{\sim }\frac{e^2}{16{\pi }^2}|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a}{|}^2\frac{1}{(1-\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}{)}^4}$

Dobbiamo dunque distinguere due casi:

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}\ne 0$ (ossia $\overrightarrow{a}$ non è parallelo a $\overrightarrow{v}$) se $\overrightarrow{n}\approx \overrightarrow{v}/v$, allora $|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a}|\ne 0$:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{e^2}{16{\pi }^2}|\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{a}{|}^2\frac{1}{(1-v\cos \alpha {)}^4}$

Pertanto, per $v\approx 1$ il termine più rilevante nell'espressione della potenza emessa per irraggiamento è $1/(1-v\cos \alpha {)}^4$. Espandendo per piccoli valori di $\alpha$:

$f(\alpha ):=\frac{1}{(1-v\cos \alpha {)}^4}=\frac{1}{{(1-v(1-\frac{{\alpha }^2}{2}))}^4}=\frac{1}{{(1-v+v\frac{{\alpha }^2}{2})}^4}\stackrel{v\approx 1}{\sim }\frac{1}{{(1-v+\frac{{\alpha }^2}{2})}^4}$

Dunque, $f(\alpha )$ è una funzione piccata attorno ad $\alpha =0$, e il picco è sempre più marcato più il valore di $v$ si avvicina ad 1.

La larghezza a metà altezza della campana, poi, è dell'ordine di $\sqrt{1-v^2}\sim \sqrt{1-v}$. Concludiamo dunque che se $v\sim 1$, la maggior parte della radiazione emessa è tutta concentrata in un cono di angolo solido centrato sulla direzione di $\overrightarrow{v}$:

$\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{v}$

Dunque:

$\frac{dW}{d\mathrm{\Omega }}=\frac{e^2}{16{\pi }^2}\frac{a^2{\sin }^2\alpha }{(1-v\cos \alpha {)}^6}$

È una situazione leggermente diversa dalla precedente: se $\alpha =0$, infatti, la potenza emessa è nulla. Detta:

$f(\alpha )=\frac{{\sin }^2\alpha }{(1-v\cos \alpha {)}^6}$

In questo caso, dunque, nella direzione esatta della velocità non viene emessa energia, ma comunque la quasi totalità della radiazione è contenuta in un cono di angolo solido $\alpha \sim \sqrt{1-v}$ centrato nella direzione della velocità (che in questo caso coincide con quella dell'accelerazione).

I due casi, dunque, anche se a priori diversi sono sostanzialmente equivalenti.