Elettrodinamica classica/La quantizzazione delle cariche

Cerchiamo ora di scrivere l'equazione di Schrödinger di una particella in moto in presenza di un quadripotenziale $\overrightarrow{A}$. L'equazione di Schrödinger per una particella libera è:

$\frac{p^2}{2m}\psi =i\frac{\partial \psi }{\partial t}$

Se la lagrangiana del sistema è

$ℒ=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2$

il momento coniugato a $x$ è

$p=\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$

Nel caso quantistico, $[x,p]=i\hslash$, se $p$ è il momento coniugato a $x$. Dunque, $p$ può essere rappresentato come

$p=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$

e perciò:

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi =i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$

Con un campo elettromagnetico, la lagrangiana del sistema diventa:

$ℒ=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-e{A}_i{\dot{x}}^i$

e quindi il momento coniugato a $x$ è:

$p^i=\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{x}}^i}=m{\dot{x}}^i-e{A}^i$

che, in meccanica quantistica, si rappresenta come

$-i\hslash \frac{\partial }{\partial x^i}$

In questo caso, l'hamiltoniana del sistema è:

$H=p\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{x}}-ℒ=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2=\frac{1}{2m}(p^i+e{A}^i{)}^2=\frac{1}{2m}(-i\hslash \overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+e\overrightarrow{A}{)}^2\Rightarrow$

$\Rightarrow H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+i\frac{e}{\hslash }\overrightarrow{A})}^2$

Quindi, l'equazione di Schrödinger per una particella in moto in un campo elettromagnetico è:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\frac{{\hslash }^2}{2m}{(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}+i\frac{e}{\hslash }\overrightarrow{A})}^2\psi$

Affinché quest'equazione sia invariante di gauge, si devono effettuare le trasformazioni $\overrightarrow{A}\mapsto \overrightarrow{A}+\mathrm{\nabla }\lambda$, $\psi \mapsto \psi e^{-ie\lambda /\hslash }$. In $D_{+}$, dunque, ci sarà una soluzione ${\psi }^{\prime }$ dell'equazione di Schrödinger, e in $D_{-}$ un'altra ${\psi }^{″}$; nell'intersezione si ha ${\psi }^{″}={\psi }^{\prime }{e}^{-ie\lambda /\hslash }$. Poiché

$\lambda =\frac{g}{4\pi }\phi$

allora le soluzioni devono essere periodiche in $\phi$, ossia invarianti sotto $\phi \to \phi +2\pi$: in particolare, anche l'esponenziale deve esserlo. Si ha perciò:

$e^{-i\frac{e}{\hslash }2\frac{g}{4\pi }\phi }=e^{-i\frac{e}{\hslash }2\frac{g}{4\pi }(\phi +2\pi )}\Rightarrow \frac{eg}{2\pi \hslash }=n,n\in \mathbb{Z}$

Questa condizione, che rappresenta la quantizzazione delle cariche (elettriche e magnetiche), è detta “condizione di quantizzazione di Dirac”. Come anticipato, l'esistenza delle cariche magnetiche giustifica la quantizzazione delle cariche elettriche.