Elettrodinamica classica/Sviluppo in multipoli

Cominciamo dal caso non relativistico. Supponiamo che la corrente $j^{\mu }$ vari apprezzabilmente su scale di tempo dell'ordine di un dato $T_0$, ossia $\mathrm{\Delta }{j}^{\mu }\sim j^{\mu }$ se $\mathrm{\Delta }t\sim T_0$. Se dunque $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ fosse piccolo rispetto a $T_0$ potremmo trascurarlo nella valutazione di $j^{\mu }$; ma quand'è che questo è vero? Cerchiamo innanzitutto un modo per stimare $T_0$.

Esempio: $j^{\mu }$ è la corrente generata da particelle cariche in moto con velocità $\overrightarrow{v}$ contenute in una regione di spazio finita di dimensione $\ell$. In questo caso l'unica stima ragionevole di $T_0$ è:

$T_0=\frac{\ell }{v}$

Per poter eseguire l'approssimazione non relativistica, dunque, abbiamo bisogno che $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}\ll T_0$. Poiché $|\overrightarrow{y}|<\ell$, ciò è verificato se $\ell \ll T_0=\ell /v$, ossia se $v\ll 1$, che è proprio il caso non relativistico.

Esempio: $j^{\mu }$ è una corrente di lunghezza d'onda $\lambda$, ossia di periodo $T_0=\lambda$, che è anche il tempo caratteristico. Pertanto, $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$ è trascurabile se è piccolo rispetto a $\lambda$, e ciò è vero se $\ell \ll \lambda$, con $\ell$ dimensioni del sistema.

In casi come questi, dunque, si può espandere $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}$:

$A^{\mu }(x)\simeq \frac{1}{4\pi r}\int j^{\mu }(t-r;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+\frac{1}{4\pi r}\int \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}{\partial }_0{j}^{\mu }(t-r;\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+O((\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}{)}^2)$

o, reintroducendo le $c$:

$\begin{array}{cc}{A}^{\mu }(x)& \simeq \frac{1}{4\pi rc}\int j^{\mu }(t-\frac{r}{c};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+\frac{1}{4\pi r{c}^2}\int \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}{\partial }_0{j}^{\mu }(t-\frac{r}{c};\overrightarrow{y})d^3\overrightarrow{y}+\\ & +O\left({\left(\frac{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{y}}{c}\right)}^2\right)\end{array}$

I termini di questo sviluppo si dicono multipoli, e il tipo di approssimazione prende un nome diverso in base a quali termini si trascurano e quali no.