Elettrotecnica/Condensatori

Template:Elettrotecnica Il caso più importante dal punto di vista pratico è quello relativo al sistema costituito da due soli conduttori; tale sistema prende il nome di condensatore. Consideriamo il caso semplice (benché importante nella pratica) di condensatore piano costituito da due superfici piane, cariche rispettivamente con densità superficiale +σ e-σ poste a distanza infinitesima.

Consideriamo, analogamente a quanto abbiamo fatto parlando del vettore D, una superficie chiusa di forma cilindrica avente come basi due elementi infinitesimi dS paralleli ad una delle superfici del condensatore e giacenti da parti opposte di questa ed avente come superficie laterale il tubo di forza tangente alle dS.

Il flusso del vettore D attraverso la superficie chiusa considerata è uguale, come abbiamo visto in precedenza, alla carica contenuta nella superficie chiusa:

$D_{1}dS+D_{2}dS=\sigma dS$

Data la simmetria del sistema D₁ e D₂ sono di valore uguale ma di verso opposto; si può scrivere perciò:

$|D_1|=|D_2|=\frac{\sigma }{2}|E_1|=|E_2|=\frac{1}{2}\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$

Analogo ragionamento può essere fatto per l'altra superficie piana del condensatore.

Il campo elettrico E nell'interno del condensatore è uguale alla somma dei campi dovuti alle superfici cariche con uguale densità σ ma con segno diverso, quindi si ha:

$E=\frac{1}{2}\frac{\sigma }{{ϵ}_0}+\frac{1}{2}\frac{\sigma }{{ϵ}_0}=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}$

All'esterno del condensatore il campo elettrico è nullo. Infatti, ogni carica elementare +σ dS posta su una delle superfici del condensatore viene neutralizzata dalla carica -σ dS posta sull'altra superficie del condensatore a distanza infinitesima Δ dalla prima.

Le relazioni che legano i potenziali alle cariche in un sistema di conduttori diventano nel nostro caso di condensatore piano con armature di superficie S, poste a distanza infinitesima Δ (o comunque molto piccola rispetto ad S), e cariche rispettivamente con q₁=+σ S=+q, q₂=-σ S=-q :

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}q-a_{12}q=U_1\\ a_{21}q-a_{22}q=U_2\end{array}$

da cui si ottiene:

$U_2-U_1=(a_{12}+a_{21}-a_{11}-a_{22})q=\frac{q}{C}$

dove con C, costante di proporzionalità tra q e (U₂-U₁), si è indicata la capacità del condensatore.

La differenza di potenziale (U₂-U₁) si ricava integrando l'espressione del campo elettrico ricavata prima:

$U_2-U_1=\underset{0}{\overset{\mathrm{\Delta }}{\int }}\frac{\sigma }{{ϵ}_0}ds=\frac{\sigma \mathrm{\Delta }}{{ϵ}_0}$

perciò la capacita C assume il valore:

$\frac{q}{U_2-U_1}=\frac{\sigma S}{\sigma \frac{\mathrm{\Delta }}{{ϵ}_0}}={ϵ}_0\frac{S}{\mathrm{\Delta }}(farad)$

Vediamo, infine, di calcolare il lavoro che si deve eseguire per stabilire una differenza di potenziale (U₂-U₁) fra le armature di un condensatore. Per fare ciò si devono togliere le cariche positive da una armatura e trasferirle sull'altra.

Indichiamo con dq la carica infinitesima e con (U_2-U_1) la differenza di potenziale raggiunta ad un certo istante.

Il lavoro fatto per trasportare la carica dq da un punto a potenziale U_2 ad un altro a potenziale U_1 è:

$dL=(U_2-U_1)dq=Udq$

e quindi:

$L=\underset{0}{\overset{Q}{\int }}Udq=\underset{0}{\overset{Q}{\int }}\frac{q}{C}dq=\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$}

Questo lavoro viene immagazzinato sotto forma di energia potenziale elettrostatica entro il campo elettrico generato dalle cariche elettriche sulle armature. Se le armature sono a distanza infinitesima, il campo è diverso da zero (e costante) solo tra le armature stesse, perciò l'energia specifica per unità di volume è:

$W=\frac{\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}}{S\mathrm{\Delta }}$

Tale relazione si può scrivere semplicemente, ricordando che è

$Q=\sigma S,\sigma =D={ϵ}_{0}E,Q=(U_2-U_1)C$

$\mathrm{\Delta }E=U_2-U_1$

$W=\frac{1}{2}{ϵ}_0{E}^2=\frac{1}{2}ED\frac{Joule}{m^3}$

che rappresenta l'energia dovuta ad un campo elettrostatico contenuta nell'unità di volume.