Equazioni differenziali alle derivate parziali/Convoluzioni

In questo modulo definiremo il concetto di convoluzione e ne daremo una caratterizzazione nel contesto della teoria delle distribuzioni.

Così come per la trasformata di Fourier, anche l'estensione di questo concetto in teoria delle distribuzioni risulta leggermente problematico. Infatti, definendo per estensione la distribuzione associata alla convoluzione $f\star g$ si avrebbe:

$(f\star g)\varphi =\underset{{ℝ}^n}{\int }(f\star g)(x)\varphi (x)dx=\underset{{ℝ}^n}{\int }(\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x-y)g(y)dy)\varphi (x)dx=$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(y)\varphi (x+y)dxdy$

Tuttavia non si ha la possibilità di concludere che se $\varphi (x)$ è a supporto compatto, anche $\varphi (x+y)$ lo sia e quindi non si può concludere che quella scritta sopra sia una distribuzione. Essa lo è a patto che almeno una tra $f$ e $g$ sia a supporto compatto.

Nella definizione, a pedice delle due distribuzioni, è indicata la variabile da cui esse dipendono.

Per esempio, sia $S_y$ una generica distribuzione e $T_x={\delta }_0$. In questo caso si ha:

$S_y\star {\delta }_0(\varphi )=S_y{\delta }_0(\varphi (x+y))=S_y\varphi (y)$

Ovvero: $S\star \delta =S,\mathrm{\forall }\varphi \in C_0^{\mathrm{\infty }}$. Si può provare che pure $\delta \star S=S$, così da poter concludere che la delta di Dirac è l'unità rispetto alla convoluzione di distribuzioni.

Le convoluzioni sono assai utili nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali. Innanzitutto si consideri la seguente definizione:

Vediamo l'utilità di quanto appreso in questo modulo. Data

$P(\partial )[\mathrm{\Phi }\star f]=\underset{{\delta }_0}{\underbrace{(P({\partial }_x){\mathrm{\Phi }}_x)}}\star f=f$

dove il secondo passaggio è giustificato dal fatto che l'operatore $P(\partial )$ vedrà solo una tra $\mathrm{\Phi }$ e $f$, a seconda di quale sia la variabile su cui esso agisce. In sostanza si ha che

$P(\partial )[\mathrm{\Phi }\star f]=f$

Dunque, se $\mathrm{\Phi }$, soluzione fondamentale di $P(\partial )$, è nota, si potrà concludere che pure $u=\mathrm{\Phi }\star f$ è soluzione di $P(\partial )u=f$.