Equazioni differenziali alle derivate parziali/Definizione della trasformata di Fourier

Dopo una breve introduzione, vogliamo definire il concetto di trasformata di Fourier. Essa viene definita naturalmente per funzioni di classe $L^1$ ma, come si vedrà nel corso di questo modulo, risulta piuttosto delicata l'estensione allo spazio $L^2$, che tuttavia è quello di maggior interesse essendo anche spazio di Hilbert.

Teorema (1)

Sia $u\in L^1({ℝ}^n)$. Definiamo trasformata di Fourier di $u$ la quantità

$ℱu=\hat{u}(k)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}u(x)dx,k\in {ℝ}^n$

Definiamo antitrasformata di Fourier la quantità

${ℱ}^{-1}u=\check{u}(k)=\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}u(x)dx,k\in {ℝ}^n$

Gli integrali che definiscono la trasformata e l'antitrasformata di Fourier altro non sono che degli integrali di Fourier con un'opportuna costante di normalizzazione. Quella usata nella nostra definizione è solo una delle possibili ed è una delle più comuni in fisica. Sappiamo quindi che la trasformata (l'antitrasformata) di Fourier è una mappa che manda $u\mapsto \hat{u}(\check{u})$. Tuttavia è bene chiedersi quale sia la sua immagine.

Teorema (2 Di Plancherel)

Sia $u\in L^1({ℝ}^n)\cap L^2({ℝ}^n)$ a quadrato integrabile. Allora

$\parallel \hat{u}{\parallel }_{L^2({ℝ}^n)}=\parallel \check{u}{\parallel }_{L^2({ℝ}^n)}=\parallel u{\parallel }_{L^2({ℝ}^n)}$

Lo spazio $L^2({ℝ}^n)$ è uno spazio di Hilbert, quindi $\hat{u}$ e sono isometrie. Si tenga presente che la trasformata di fourier in realtà è definita su $L^1({ℝ}^n)$ e dunque è necessario, per poter rimanere nel campo di validità del teorema appena enunciato, estenderla a $L^2({ℝ}^n)$. Questa estensione si può fare lavorando in un particolare spazio detto spazio di Schwarz.

Osservazione (1)

Sia $u\in L^2({ℝ}^n)$. Definiamo una successione $\left\{u_k\right\}\in L^1({ℝ}^n)\cap L^2({ℝ}^n)$ tale che

$u_k\stackrel{L^2({ℝ}^n)}{\to }u$

ovvero

$\parallel u_k-u{\parallel }_{L^2({ℝ}^n)}\stackrel{k\to +\mathrm{\infty }}{\to }0$

Allora per questa successione è ben definita la trasformata di Fourier, perché ogni elemento della stessa sta in $L^1({ℝ}^n)$. Inoltre si ha che

$\parallel {\hat{u}}_k-{\hat{u}}_j{\parallel }_{L^2}=\parallel (u_k-u_j{)}^{\stackrel{}{^}}{\parallel }_{L^2}=\parallel u_k-u_j{\parallel }_{L^2}$

Dal momento che $u_k\to u$ ed essendo $L^2$ uno spazio di Hilbert, e dunque anche di Banach, si ha che

$u_k-u_j\to 0$

Questo ci porta a concludere che la successione $u_k$ è una successione di Cauchy. In realtà, in virtù dell'uguaglianza scritta qui sopra si ha che pure la successione ${\hat{u}}_k$ è di Cauchy. Dunque essa dovrà convergere a una certa funzione $g\in L^2({\mathbb{(}ℝ\mathbb{)}}^n)$ che per definizione chiameremo trasformata di Fourier di $u$. Stiamo procedendo per "densità": è fondamentale sapere che quelle che usiamo sono isometrie per poter concludere che ${\hat{u}}_k$ è una successione di Cauchy.

Possiamo dunque definire la trasformata di Fourier in $L^2$

Teorema (3)

Sia $u\in L^2({ℝ}^n)$, si definisce trasformata di Fourier di $u$ in $L^2({ℝ}^n)$ la quantità

$g=\hat{u}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to +\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2\pi {)}^{n/2}}\underset{{ℝ}^n}{\int }{e}^{-i\underset{\_}{k}\cdot \underset{\_}{x}}{u}_k(x)dx$

Il limite che definisce la trasformata su $L^2$ non è un limite puntuale, ma un limite in media. La trasformata di Fourier è un'isometria di $L^2({ℝ}^n)$ in sé stesso.

Teorema (4)

Calcoliamo la trasformata di Fourier di una gaussiana. Sia $u(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}\in L^1(ℝ)$. Dalla definizione abbiamo che:

$\hat{u}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }{e}^{-ikx}{e}^{-x^2/2}dx$

Detta $h(xk)=e^{-ikx}{e}^{-x^2/2}$, si ha che

$\frac{\partial h}{\partial k}=-ix{e}^{-ikx}{e}^{-x^2/2}$

$\left|\frac{\partial h}{\partial k}\right|=\mid x\mid e^{-x^2/2}\in L^1(ℝ)$

Derivando rispetto a $k\hat{u}(k)$ si ottiene:

${\hat{u}}^{\prime }(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }(-ix)e^{-ikx}{e}^{-x^2/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }i{e}^{-ikx}\frac{d}{dx}\left(e^{-x^2/2}\right)dx=$

$=-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }k{e}^{-ikx}{e}^{-x^2/2}dx=-k\hat{u}(k)$

Dunque $\hat{u}(k)$ deve soddisfare la seguente equazione differenziale del primo ordine:

${\hat{u}}^{\prime }(k)+k\hat{u}(k)=0$

La cui soluzione è

$\hat{u}(k)=\hat{u}(0)e^{-k^2/2}$

Più precisamente, notando che $\hat{u}(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{ℝ}{\int }{e}^{-x^2/2}dx=1$, si ha che

Ovvero che la trasformata di Fourier di una gaussiana è ancora una gaussiana.

Se la gaussiana non avesse varianza 1, ma un valore arbitrario, poco cambierebbe. Più precisamente, se $u(x)=e^{-\xi \mid x{\mid }^2}$, avremmo che

$\hat{u}(k)=\frac{1}{\sqrt{2\xi }}{e}^{-\frac{\mid k{\mid }^2}{4\xi }},x,k\in ℝ$

Chiaramente la nostra definizione non è per nulla restrittiva e segue in maniera naturale la sua estensione a ${ℝ}^n$. Sempre con l'esempio della gaussiana avremmo che $u(\underset{\_}{x})=\prod _{i=1}^n{e}^{-\xi x_i^2}$ (notazione dei multiindici), e la sua trasformata di Fourier sarebbe

$\hat{u}(\underset{\_}{k})=\frac{1}{(2\xi {)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{\mid \underset{\_}{k}{\mid }^2}{4\xi }}$