Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il teorema di D'Alembert

Nei moduli precedenti è stata derivata l'equazione delle onde nel caso monodimensionale:

$u_{tt}-v^2{u}_{xx}=0$

Ora si vuole capire come è possibile studiare questa equazione per determinarne le soluzioni. In sostanza si vuole determinare $u(x;t)$ che la soddisfi. Per farlo non si risolverà esplicitamente l'equazione, ma si sfrutterà un teorema dovuto a D'Alembert.

Sia $u(x;t)\in C^2(ℝ\times ℝ)$ soluzione dell'equazione delle onde. Allora:

$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$

Con $f,g:ℝ\to ℝ,f,g\in C^2(ℝ\times ℝ)$.

Il teorema di D'Alembert dunque afferma che ogni soluzione dell'equazione delle onde può sempre essere scritta come somma di un'onda progressiva, $f(x-vt)$, e di un'onda regressiva, $g(x+vt)$. Inoltre è possibile provare che, se $f,g\in C^2(ℝ\times ℝ)$, anche $u_{+}=f(x-vt)$ e $u_{-}=g(x+vt)$ soddisfano l'equazione delle onde. Dimostriamo il teorema di D'Alembert.

Si consideri la seguente trasformazione di coordinate:

$\underset{\_}{\xi }=\underset{\_}{x}+\underset{\_}{v}t,\underset{\_}{\eta }=\underset{\_}{x}-\underset{\_}{v}t$

Si nota che $\underset{\_}{\xi }$ e $\underset{\_}{\eta }$ sono lineari e invertibili. Ora si vuole scrivere l'azione dell'operatore di D'Alembert in funzione di $\xi \text{ e }\eta$. Essendo $\tilde{u}(\underset{\_}{\xi },\underset{\_}{\eta })=u(x(\xi ,\eta ),t(\xi ,\eta ))$, si ha che:

${◻}_{\xi ,\eta }=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}=(\frac{1}{v}\frac{\partial }{\partial t}+\frac{\partial }{\partial x})(\frac{1}{v}\frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial }{\partial x})=2\frac{\partial }{\partial \xi }2\frac{\partial }{\partial \eta }$

Infatti:

$2\frac{\partial }{\partial \xi }=\frac{\partial x}{\partial \xi }\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial vt}{\partial \xi }\frac{\partial }{\partial vt}=\frac{\partial }{\partial x}+\frac{1}{v}\frac{\partial }{\partial t}$

In modo analogo si prova che $2\frac{\partial }{\partial \eta }=\frac{1}{v}\frac{\partial }{\partial t}-\frac{\partial }{\partial x}$. L'equazione delle onde, espressa in funzione di $\xi$ e $\eta$, può essere dunque scritta come:

$4\frac{{\partial }^2}{\partial \xi \partial \eta }\tilde{u}(\xi ,\eta )=0$

Ovvero:

$\frac{\partial }{\partial \xi }\frac{\partial }{\partial \eta }\tilde{u}(\xi ,\eta )=0$

Dato che $\frac{\partial \tilde{u}}{\partial \eta }$ non dipende da $\xi$, la si può scrivere come $F(\eta )$ e si ottiene:

$\tilde{u}(\xi ,\eta )=\int F(\eta )+g(\xi )$

Da cui segue che:

$\tilde{u}(\xi ,\eta )=f(\eta )+g(\xi )$

Tornando in $x,t$ si conclude che:

$u(x;t)=f(x-vt)+g(x+vt)$