Equazioni differenziali alle derivate parziali/Il valor principale

In questo modulo ci occuperemo di un'altra distribuzione singolare: il valor principale. Si consideri $f=ℝ\setminus \left\{0\right\}\to ℝ$, $f(x)=\frac{1}{x}$. Si definisce valore principale di $\frac{1}{x}$ la quantità

$P_{\frac{1}{x}}(\varphi )=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{\mid x\mid >ϵ}{\int }\frac{\varphi (x)}{x}dx$

Quella appena usata non è l'unica rappresentazione del valor principale, infatti se si considera $\varphi$ con supporto $[-r,r]$ si ha:

$\underset{\mid x\mid >ϵ}{\int }\frac{\psi (x)}{x}dx=\underset{ϵ}{\overset{r}{\int }}\frac{\psi (x)-\psi (-x)}{x}dx\le 2r\underset{x\in [-r,r]}{\sup }\mid {\varphi }^{\prime }(x)\mid <+\mathrm{\infty }$

Segue che $\underset{ϵ}{\overset{r}{\int }}\frac{\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}dx$ è limitato in $ϵ$. Si può concludere che:

$P_{\frac{1}{x}}(\varphi )=\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{ϵ}{\overset{r}{\int }}\frac{\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}dx$

La distribuzione di Dirac e il valor principale rientrano nella determinazione di quella che si chiama formula di Plemelj-Sochozki.

Si calcoli

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\frac{\varphi (x)}{x\pm iϵ}dx$

La funzione integrata contro $\varphi (x)$ è definita in campo complesso, pertanto la si riscrive distinguendo parte reale e immaginaria:

$\frac{1}{x\pm iϵ}=\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}\mp \frac{iϵ}{x^2+{ϵ}^2}$

Per la parte immaginaria si ha che:

$\frac{ϵ}{x^2+{ϵ}^2}=\frac{1}{ϵ}\frac{1}{{\left(\frac{x}{ϵ}\right)}^2+1}$

Detta $\frac{x}{ϵ}=s$ quella che si ottiene altro non è che una rappresentazione della delta di Dirac:

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\mp \frac{ϵ}{x^2+{ϵ}^2}=\pm i\pi {\delta }_0(\varphi )$

Per la parte regolare occorre calcolare

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}\varphi (x)dx$

Si osserva che l'integranda è una distribuzione regolare della forma $T_f$. Definiamo $h_{ϵ}(x)=\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}\in L_{loc}^1(ℝ)$, distribuzione regolare dispari. Moltiplicando e dividendo per $x$, l'integrale che definisce la parte reale della funzione di cui stiamo calcolando il limite si può riscrivere come:

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x{h}_{ϵ}(x)\frac{(\varphi (x)-\varphi (0))}{x}dx$

Volendo passare al limite sotto il segno di integrale è necessario considerare il problema della convergenza dominata. In realtà si osserva che esiste una maggiorante integrabile per l'integranda:

$\mid x{h}_{ϵ}(x)\mid =\mid \frac{x}{x^2+{ϵ}^2}\mid \le 1$

Dunque $\frac{\varphi (x)-\varphi (-x)}{x}$ è la maggiorante integrabile che permette di concludere che vi è convergenza dominata e quindi che le operazioni di limite e di integrale possono essere scambiate, quindi:

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}=P_{\frac{1}{x}}$

Così da poter concludere la formula di Plemelj-Sochozki:

$\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\frac{1}{x\pm iϵ}dx=\mp i\pi {\delta }_0(\varphi )+P_{\frac{1}{x}}$

L'esempio appena studiato ci ha permesso anche di determinare un'altra espressione per il valore di $P_{\frac{1}{x}}$, infatti si è arrivati a:

$P_{\frac{1}{x}}=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}dx$