Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'energia per la corda vibrante

Si consideri ancora il problema di Dirichlet per la corda vibrante:

$\{\begin{array}{c}{u}_{tt}-v^2{u}_{xx}=0\\ u(x;0)=u(x)\\ u_t(x;0)=u_t(x)\\ u(0;t)=u(L;t)=0\end{array}$

È stato già dimostrato che la soluzione del problema può essere scritta sfruttando la serie di Fourier:

$u(x;t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{q}_n(t)s_n(x)$

Sappiamo che l'energia totale può essere scritta, da definizione, come:

$E=E(t)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{L}{\int }}[u_t^2(x;t)+v^2{u}_x^2(x;t)]dx$

Si vuole ora ricavare l'espressione esplicita per questa grandezza. Per farlo si sfrutta un'importante proprietà del sistema studiato: l'energia totale è una grandezza conservata. Dunque:

$E(t)=E(0)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{L}{\int }}[u_t^2(x)+v^2{u}_x^2(x)]dx$

Per scrivere esplicitamente $E$ in funzione dell'espressione di $u(x;t)$ scritta sopra, è necessario calcolare esplicitamente $u_t$ e $u_x$.

Per $u_t$ si ha che:

$u_t=u_t(x;t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\dot{q}}_n(t)s_n(x)$

Per $u_x$ si ha che $u_x(x;t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{q}_n(t)s_n^{\prime }(x)$. Essendo $s_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin (k_{n}x)$ si ha:

$s^{\prime }(x)=k_n\sqrt{\frac{2}{L}}\cos (k_{n}x)=k_n{\tilde{s}}_n(x)$

Da cui segue che $u_x(x;t)$ può essere scritta come:

$u_x(x;t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{q}_n(t)k_n{\tilde{s}}_n(x)$

È ora possibile calcolare i quadrati di queste due funzioni, necessari per poter determinare l'espressione esplicita dell'energia totale del sistema:

$u_t^2(x;t)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}{\dot{q}}_n(t)s_n(x){\dot{q}}_m(t)s_m(t)$

Integrando tra 0 e $L$ si ottiene:

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{u}_t^2(x;t)dx=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}{\dot{q}}_n(t){\dot{q}}_m(t)\underset{{\delta }_{n,m}}{\underbrace{\underset{0}{\overset{L}{\int }}{s}_n(x)s_m(x)dx}}=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{\dot{q}}_n^2(t)$

Con conti del tutto analoghi si ricava il valore del termine di energia potenziale:

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{v}^2{u}_x^2(x;t)dx=v^2\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{+\mathrm{\infty }}{q}_n(t)q_m(t)\underset{{\delta }_{n,m}{k}_n{k}_m}{\underbrace{\underset{0}{\overset{L}{\int }}{\tilde{s}}_n(x){\tilde{s}}_m(x)k_n{k}_{m}dx}}=v^2\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{q}_n^2(t)k_n^2$

In definitiva, l'energia totale del sistema può essere scritta come:

$E(t)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{L}{\int }}(u_t^2+v^2{u}_x^2)dx=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}({\dot{q}}^2+\underset{{\omega }_n^2}{\underbrace{v^2{k}_n^2}}{q}_n^2)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}(\frac{1}{2}{\dot{q}}_n^2+\frac{1}{2}{\omega }_n^2{q}_n^2)$

Si è arrivati a un risultato piuttosto importante: la corda vibrante può essere idealizzata a un sistema di infiniti oscillatori armonici. Inoltre l'analisi di Fourier, che ci ha permesso di scrivere $u(x;t)=\sum q_n(t)s_n(x)$, permette di trovare una base ortonormale rispetto a cui l'energia è diagonale.