Equazioni differenziali alle derivate parziali/L'equazione di Fourier

Nei moduli precedenti abbiamo ricavato l'equazione delle onde nel caso monodimensionale. Ci chiediamo come sia possibile ricavare, sempre applicando delle opportune ipotesi e semplificazioni, l'equazione del calore nel caso monodimensionale:

$u_t-D{u}_{xx}=0$

Si supponga che il sistema studiato sia caratterizzato da una quantità $q$ tale da soddisfare l'equazione di continuità:

$\frac{\partial q}{\partial t}+divJ=0$

Integrando su un volume e applicando il teorema della divergenza si ottiene:

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }q{d}^3\overrightarrow{x}=-\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\underset{\_}{J}\hat{n}d\sigma$

Dal momento che l'equazione del calore, soprattutto nel caso n-dimensionale, rappresenta un'equazione di diffusione, si assume che:

$q=\rho (x;t),\underset{\_}{J}=\rho (x;t)\underset{\_}{v}$

L'equazione di continuità può essere riscritta come:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+div(\rho \underset{\_}{v})=0$

In realtà, il campo di velocità non è noto e non si possono fare delle ipotesi su di esso; pertanto è necessario introdurre un'ipotesi per poter fissare il valore di $\underset{\_}{J}$. Tale ipotesi va sotto il nome di legge di Fick ed è rappresentata da:

$\underset{\_}{J}=-D\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}\rho ,D\in ℝ$

A livello macroscopico la legge di Fick definisce una quantità $\underset{\_}{J}$, che si oppone alla concentrazione, direttamente proporzionale al gradente della densità di soluto $\rho$. Usando la legge di Fick, è possibile riscrivere l'equazione di cui sopra come:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+div(-D\mathrm{\nabla }\rho )=0$

Da cui segue l'equazione di Fourier per la diffusione:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}-D{\mathrm{\nabla }}^2\rho =0$