Equazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni del problema di Sturm-Liouville

Ci si vuole occupare della risoluzione del problema di Sturm-Liouville. Innanzitutto si nota che esso può essere scritto in forma generica come:

$\{\begin{array}{c}ℒu=\lambda u=f\\ B.C.\end{array},u\in 𝒟(ℒ),f\in C^0\left((0,L)\right)\cap C^2\left([0,L]\right)$

Quindi, risolvere il problema di Sturm-Liouville significa essere in grado di risolvere l'equazione differenziale $ℒu=f$. Si nota però che la risoluzione di un'equazione non è altro che un problema di inversione. Più precisamente, nel caso in esame, si tratterà di essere in grado di invertire l'operatore $ℒ$ per poter scrivere:

$u={ℒ}^{-1}f$

Chiaramente, affinché quanto appena detto sia fattibile, occorre che $kerℒ=0$. Pertanto si studierà il problema di cui sopra con l'ipotesi preliminare che $ℒ$ non abbia autovalore nullo.

Ora che si è inquadrato il problema, possiamo procedere con la sua risoluzione. Innanzitutto si considerino $v_1,v_2$ soluzioni distinte dei due problemi $ℒv_i=0$ con condizioni al bordo date da:

$h_1{v}_1(0)-h_2{v}_1^{\prime }(0)=0$

$H_1{v}_2(L)+H_2{v}_2^{\prime }(L)=0$

È possibile che esistano due soluzioni che soddisfano queste condizioni, a patto di prenderle tra loro linearmente indipendenti. Se $v_1,v_2$ non fossero linearmente indipendenti, allora dovrebbero essere una multiplo dell'altra e soddisfare contemporaneamente le condizioni al bordo, ma questa richiesta sarebbe equivalente ad ammettere che $ℒ$ abbia autovalore nullo, caso che escludiamo per ipotesi preliminare. Siano dunque $v_1,v_2$ linearmente indipendenti. Il wronskiano dell'equazione differenziale di secondo ordine associata al problema per $ℒ$ è dato da:

$W(x)=\left|\begin{array}{cc}{v}_1(x)& v_2(x)\\ v_1^{\prime }(x)& v_2^{\prime }(x)\end{array}\right|\ne 0$

Si consideri il seguente lemma:

Si ha che $(pW)(x)=cost$ dal momento che:

$(pW{)}^{\prime }(x)=v_1(p{v}_2^{\prime }{)}^{\prime }-v_2(p{v}_1^{\prime }{)}^{\prime }=-v_{1}q{v}_2+v_{2}q{v}_1=0$

Dunque $(pW{)}^{\prime }=0\Rightarrow (pW)(x)=(pW)(0)$.

Sfruttiamo il risultato del lemma per risolvere $ℒv=f$ come equazione differenziale, usando il metodo di variazione delle costanti. Si ha che:

$\left[\begin{array}{cc}{v}_1(x)& v_2(x)\\ v_1^{\prime }(x)& v_2^{\prime }(x)\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{c}_1^{\prime }(x)\\ c_2^{\prime }(x)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ f(x)\end{array}\right)\frac{1}{p(x)}$

Da cui si ricavano i seguenti valori per $c_1^{\prime },c_2^{\prime }$:

$c_1^{\prime }(x)=\frac{v_2(c)f(x)}{pW}$

$c_2^{\prime }(x)=-\frac{v_1(x)f(x)}{pW}$

Da cui è possibile ricavare i valori di $c_1(x),c_2(x)$ integrando. Avendo osservato nel lemma che $pW=cost$, gli integrali ne saranno indipendenti. Si ottiene:

$u(x)=c_1{v}_1(x)+c_2{v}_2(x)-\frac{v_1(x)}{pW}\underset{x}{\overset{L}{\int }}dy{v}_2(y)f(y)-\frac{v_2(x)}{pW}\underset{0}{\overset{x}{\int }}dy{v}_1(y)f(y)$

Occorre determinare i valori delle costanti $c_1,c_2$ imponendo che $u(x)$ soddisfi le condizioni al bordo. Si ottiene che esse sono soddisfatte se e solo se $c_1=c_2=0$. La soluzione dell'equazione differenziale coincide con la soluzione della non omogenea, ottenuta per variazione delle costanti:

$u(x)=-\frac{v_1(x)}{pW}\underset{x}{\overset{L}{\int }}dy{v}_2(y)f(y)-\frac{v_2(x)}{pW}\underset{0}{\overset{x}{\int }}dy{v}_1(y)f(y)$

Generalmente la si riscrive come:

$u(x)=\underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(xy)f(y)dy,𝒢(xy)=-\frac{1}{pW}\{\begin{array}{c}{v}_1(x)v_2(y),0<x<y\le L\\ v_1(y)v_2(x),0<y<x\le L\end{array}$

La funzione $𝒢(xy)$ si chiama funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville e coincide con il nucleo integrale di tale operatore. Si osserva quindi che partendo da $ℒu=f$ e trattandolo come un problema di inversione si ottiene che:

$u={ℒ}^{-1}f=\underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(xy)f(y)dy$

Un'altra importante osservazione che è opportuno fare a questo punto è legata alla regolarità della funzione che si ottiene: partendo dall'azione di un operatore differenziale si è ottenuta una funzione che dipende dall'azione di un operatore integrale, quindi si può concludere che l'inversione del problema di Sturm-Liouville ritorna un risultato, per esempio una funzione, più regolare di quella di partenza.

L'operatore $f\mapsto \underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(cy)f(y)dy$ è un operatore lineare in $C^0((0,L))\cap C^2([0,L])$ e corrisponde all'inverso dell'operatore $ℒ$ su $𝒟(ℒ)$ se $\lambda =0$ non è autovalore per l'operatore di Sturm-Liouville $ℒ$.

La funzione di Green $𝒢(xy)$ è continua in $[0,L]\times [0,L]$. Collegandoci a quest'ultima osservazione, è opportuno chiedersi anche che cosa si possa concludere sulla derivabilità di $𝒢$. Si può concludere che, oltre che continua, la funzione di Green dell'operatore di Sturm-Liouville è anche differenziabile su $[0,L]\times [0,L]$, tranne che sulla diagonale $x=y$. Concludiamo questo modulo con un'importante osservazione che lega autovalori e autovettori dell'operatore di Sturm-Liouville a quelli della funzione di Green ad esso associata.

Si è osservato che, partendo da $ℒu=f$ è possibile trovare l'espressione esplicita di $u(x)$ studiando questo come un problema di inversione. Torniamo ora al caso in cui l'equazione da risolvere sia proprio quella agli autovalori per $ℒ$, ovvero $ℒu=\lambda u$. In questo caso si avrà che:

$u=\lambda \underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(xy)u(y)dy,u\in 𝒟(ℒ)$

Si definisca:

$𝒢u(x)\equiv \underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(xy)u(y)dy=\frac{1}{\lambda }u$

Si conclude quindi che, nell'ipotesi in cui $\lambda \ne 0$, la coppia $(\lambda ,u)$ è coppia autovalore/autovettore per $ℒ$ se e solo se la coppia $(\frac{1}{\lambda },u)$ è coppia autovalore/autovettore per $𝒢$.