Equazioni differenziali alle derivate parziali/Le soluzioni dell'equazione di Laplace: funzioni armoniche

In questo modulo ci si occuperà di dare una caratterizzazione delle funzioni che risolvono l'equazione di Laplace, anche dette funzioni armoniche.

Segue direttamente dalla definizione che ogni funzione armonica $u\in ker\left\{\mathrm{\Delta }\right\}$. Per capire quale sia la forma analitica di $u$ studiamo il caso monodimensionale e quello di dimensione $n=2$:

Per il caso monodimensionale non si ricavano particolari informazioni. Infatti se $\mathrm{\Omega }=(a,b)$ si avrà che:

$\mathrm{\Delta }u=\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=0$

Che significa semplicemente trovare:

$u(x)=c_{1}x+c_2$

Il caso $n=2$ è piuttosto interessante invece. Infatti sarà possibile osservare che, in virtù dell'isomorfismo ${ℝ}^2\simeq ℂ$, vi è uno stretto legame tra funzioni olomorfe e soluzioni dell'equazione di Laplace, ovvero funzioni armoniche.

Si ricorda che se $f$ è olomorfa in $\mathrm{\Omega }$ essa coincide con il suo sviluppo di Taylor nell'intorno di un qualsiasi punto $x_0\in \mathrm{\Omega }$ ed è di classe $C^{\mathrm{\infty }}(ℂ)$. Si potrà quindi scrivere $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e dovrà soddisfare le condizioni di Cauchy-Riemann:

$\{\begin{array}{c}{u}_x=v_y\\ u_y=-v_x\end{array}$

Il legame tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche di cui si parlava sopra è esplicitato dal seguente teorema.

Teorema

Sia $f$ una funzione olomorfa in $\mathrm{\Omega }\subset ℂ$. Allora $f=u(x,y)+iv(x,y)$ e le funzioni $u(x,y),v(x,y)$ sono armoniche in $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$.

Dimostrazione

Per ipotesi $f$ è olomorfa, dunque soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann:

$\{\begin{array}{c}{u}_x=v_y\\ u_y=-v_x\end{array}$

Derivando rispetto a $x$ la prima equazione e rispetto a $y$ la seconda si ottiene:

$\{\begin{array}{c}{u}_{xx}=v_{yx}\\ u_{yy}=-v_{xy}\end{array}$

Sottraendo membro a membro:

$u_{xx}+u_{yy}=0$

Quindi $\mathrm{\Delta }u=0$, ovvero $u(x,y)$ è armonica in $\mathrm{\Omega }$. Dove si può concludere che $v_{xy}=v_{yx}$ in virtù del teorema di Schwarz, essendo $f\in C^{\mathrm{\infty }}(ℂ)$. Analogamente, derivando la prima delle equazioni di Cauchy-Riemann rispetto a $y$ e la seconda rispetto a $x$, si può provare che anche $v(x,y)$ è armonica in $\mathrm{\Omega }$.

Soluzioni fondamentali radiali del laplaciano

Un'importante semplificazione nello studio delle funzioni armoniche si ottiene andando a considerare funzioni armoniche radiali. In ${ℝ}^n$ si considerano le funzioni armoniche tali per cui è vero che:

$u(\underset{\_}{x})=v(\mid x\mid )=v(r)$

Da definizione si ha che $u$ deve essere $C^2(\mathrm{\Omega })$. Si nota che il passaggio alle funzioni armoniche radiali può far sorgere dei problemi in $x=0$, pertanto (almeno preliminarmente) si richiede che $x\ne 0$. Dovendo lavorare con funzioni radiali è necessario derivare l'espressione per il laplaciano:

$u_{x_i}=\frac{x_i}{\mid x\mid }{v}^{\prime }(\mid x\mid ),\mathrm{\forall }x\ne 0$

$u_{x_i,x_i}=\frac{\partial }{\partial x_i}(\frac{x_i}{\mid x\mid }{v}^{\prime }(\mid x\mid ))=\frac{1}{\mid x\mid }{v}^{\prime }(\mid x\mid )-\frac{x_i^2}{\mid x{\mid }^3}{v}^{\prime }(\mid x\mid )+\frac{x_i^2}{\mid x{\mid }^2}{v}^{\prime \prime }(\mid x\mid )$

In definitiva:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }u& =\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i^2}=\frac{v^{\prime }}{\mid x\mid }\sum _{i=1}^n+\frac{v^{\prime }}{(\mid x\mid {)}^3}\sum _{i=1}^n{x}_i^2+\frac{v^{\prime \prime }}{(\mid x\mid {)}^2}\sum _{i=1}^n{x}_i^2\\ & =\frac{n-1}{\mid x\mid }{v}^{\prime }(\mid x\mid )+v^{\prime \prime }(\mid x\mid )\end{array}$

La cosa interessante che si nota è che il passaggio alle funzioni armoniche radiali consente di riscrivere l'equazione di Laplace come un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine:

$\frac{n-1}{r}{v}^{\prime }(r)+v^{\prime \prime }(r)=0,r\ne 0$

$\Rightarrow v^{\prime \prime }(r)=\frac{1-n}{r}{v}^{\prime }(r)$

Da cui si ricava integrando una volta:

$\begin{array}{cc}\log (v^{\prime }(r))& =\frac{1-n}{\log }r+C\\ v^{\prime }(r)& =\frac{C}{r^{n-1}}\end{array}$

Integrando di nuovo e tornando in $x$ si ricavano le soluzioni fondamentali del laplaciano in $n=2,n=3$:

$u(x)=\{\begin{array}{c}{c}_1\log (\mid x\mid )+c_2,n=2,x\ne 0\\ \frac{c_1}{(2-n)\mid x{\mid }^{n-2}}+c_2,n=3,x\ne 0\end{array}$

In genere si utilizzano questi parametri (soprattutto nei problemi di elettromagnetismo):

$u(x)=\{\begin{array}{c}-\log (\mid x\mid )n=2\\ \frac{1}{4\pi \mid x\mid }n=3\end{array}$

L'oggetto di studio dei prossimi moduli dunque saranno le funzioni armoniche, le loro proprietà e la risoluzione esplicita delle equazioni di Laplace e di Poisson.