Equazioni differenziali alle derivate parziali/Operatore di Hilbert-Schmidt

Nei moduli precedenti abbiamo visto che il problema della risoluzione di $ℒu=f$ può essere pensato come un problema di inversione dell'operatore $ℒ$ e, usando questa interpretazione, ottenere la funzione di Green per l'operatore di Sturm-Liouville:

$𝒢u(x)=\underset{0}{\overset{L}{\int }}𝒢(xy)u(y)dy$

Questa strategia risolutiva in realtà è un caso particolare, ottenuto partendo da una forma molto più generale:

$Tu(x)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }K(xy)u(y)dy$

Con $\mathrm{\Omega }$ compatto in ${ℝ}^n$ e $K:\mathrm{\Omega }\times \mathrm{\Omega }\to {ℝ}^n$. L'operatore appena scritto prende il nome di operatore di Hilbert-Schmidt. Il seguente teorema dà una caratterizzazione più dettagliata di questo operatore.

Teorema

Sia $K(xy)$ continua in $[0,L]\times [[0,L]$ e sia $\mathscr{H}=L^2([0,L])$. Allora:

• $T:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ è compatta;
• se $u\in \mathscr{H}\to Tu$ è continua e $Tu\in C^0([0,L])$;
• se $K(xy)=K(yx)$, ovvero se il nucleo integrale dell'operatore di Hilbert-Schmidt è simmetrico, allora $T$ è simmetrica in $\mathscr{H}$.

Dimostrazione

Sia $u\in \mathscr{H}$. Dalla disuguaglianza di Holder segue che:

$\underset{0}{\overset{L}{\int }}1\mid u(y)\mid dy\le {\left(\underset{0}{\overset{L}{\int }}{1}^{2}dy\right)}^{\frac{1}{2}}{(\underset{0}{\overset{L}{\int }}\mid u(y){\mid }^2)}^{\frac{1}{2}}=L^{\frac{1}{2}}\parallel u{\parallel }_{\mathscr{H}}$

È dunque possibile controllare una norma in $L^1$, cioè quella di $\mid u(y)\mid$, con una norma su un limitato di $L^2$, cioè quella di $\parallel u\parallel$. Sia ora $v=Tu=\underset{0}{\overset{L}{\int }}K(xy)f(y)dy$, con $K$ uniformemente continua su $[0,L]\times [0,L]$. Dunque si ha che:

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }\delta :Sex,z\in [0,L],\mid x-z\mid <\delta ,\alpha =\underset{y\in [0,L]}{\max }\mid K(xy)-K(yz)\mid <ϵ$

Dunque si ha che:

$\mid v(x)-v(z)\mid \le \alpha \underset{0}{\overset{L}{\int }}u(y)dy\le ϵL^{\frac{1}{2}}\parallel u{\parallel }_{\mathscr{H}},\mathrm{\forall }x,z\in [0,L],\mid x-z\mid <\delta$

Si è dunque provato che $Tu$ è continua; in realtà si osserva che essa è uniformemente continua, dunque si ha:

$\underset{x\in [0,L]}{\max }v(x)\le \underset{x,y\in [0,L]}{\max }\mid K(xy)\mid \underset{0}{\overset{L}{\int }}\mid u(y)\mid dy\le cost\parallel u\underset{\mathscr{H}}{\overset{2}{\parallel }}$

È dunque possibile concludere che:

$\parallel Tu{\parallel }_{\mathscr{H}}={[\underset{0}{\overset{L}{\int }}\mid v(x){\mid }^{2}dx]}^{\frac{1}{2}}\le cost\parallel u\parallel$

Ovvero che $T$ è limitato.

Si consideri ora una famiglia $ℱ$ di funzioni limitate su $\mathscr{H}$. Sia $\parallel u\parallel \le N,\mathrm{\forall }u\in ℱ$, con $N$ indipendente da $u$. Dalle disuguaglianze scritte sopra discende che $v$ è una famiglia equilimitata nello spazio delle funzioni continue e che è equicontinua. Dal teorema di Ascoli-Artzelà è possibile concludere che $Tu$ converge in $C^0([0,L])$, e quindi anche in ${ℒ}^2([0,L])$. Dunque $u$ è limitata in $C^0$; il che implica che $v$ è una famiglia equilimitata ed equicontinua in $C^0$ e dovrà ammettere una sottosuccessione uniformemente convergente in $C^0$ stesso e perciò anche in ${ℒ}^2$. Pertanto si ha:

$v_n\to v,\text{dunque:}$

$\parallel v_n-v{\parallel }_{L^2([0,L])}={\left(\underset{0}{\overset{L}{\int }}{(v_n-v)}^{2}dx\right)}^{\frac{1}{2}}\le c\underset{x\in [0,L]}{\max }\mid v_n(x)-v(x)\mid \underset{n\to 0}{\to }0$

Dunque se $ℱ=\left\{f_n\right\}$ è una successione limitata in $L^2([0,L])$ la corrispondente $T(ℱ)=\left\{T{f}_n\right\}$ ammette sottosuccessione convergente in $L^2([0,L])-$

Per concludere si vuole dimostrare che se $K(xy)=K(yx)$ allora $T$ è simmetrico. Si ha che:

${⟨Tu\mid v⟩}_{L^2}=\underset{0}{\overset{L}{\int }}v(\underset{0}{\overset{L}{\int }}K(xy)u(y)dy)dx=$

$=\underset{0}{\overset{L}{\int }}(\underset{0}{\overset{L}{\int }}K(xy)v(x)dx)u(y)dy=\underset{0}{\overset{L}{\int }}\underset{0}{\overset{L}{\int }}K(yx)v(x)dxu(y)dy={⟨u\mid Tv⟩}_{L^2}$

Da cui segue non solo che $T$ è simmetrico e compatto, ma anche che (in virtù del teorema spettrale) esso ammette una successione di autovalori reali convergente a zero e la corrispondente successione di autovettori forma un sistema ortonormale completo su $L^2([0,L])$.