Equazioni differenziali alle derivate parziali/Proprietà generali

Sino ad ora ci siamo occupati prevalentemente dello studio di problemi al bordo, ad esempio:

$\{\begin{array}{c}{u}_{tt}-\mathrm{\Delta }u=0,(\text{oppure }{u}_t-\mathrm{\Delta }u=0)\\ u{\mid }_{\partial \mathrm{\Omega }}=0\end{array}$

Avevamo inoltre notato che i problemi al bordo studiati potevano in qualche modo essere ricondotti a equazioni agli autovalori, per l'operatore di derivata seconda $ℒ=-\frac{d^2}{d{x}^2}$. Ora ci si vuole occupare dello studio dei problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano. Più precisamente vorremmo capire quali sono, e come si trovano, i numeri $\lambda$ tali che:

$\{\begin{array}{c}-\mathrm{\Delta }u=\lambda u,\in \mathrm{\Omega }\\ B.C.\end{array}$

Con condizioni al bordo di Dirichlet, di Neumann oppure di Robin.

Innanzitutto si osserva che i problemi al bordo si possono ricondurre a problemi agli autovalori per l'operatore laplaciano quando si lavora su spazi limitati. Infatti, detta $u(x,t)=e^{i\lambda t}v(x)$ la soluzione (o presunta tale) dell'equazione $u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=0$, si ricava:

$\mathrm{\Delta }v(x)=-{\lambda }^{2}v(x)$

che è esattamente un'equazione agli autovalori per l'operatore laplaciano. Un discorso simile vale anche per l'equazione di Schroedinger:

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }\psi +V(x)\psi ,\psi :{ℝ}^3\to ℂ,V:{ℝ}^3\to ℝ$

Posto $\psi (x,t)=e^{-iEt}\varphi (x)$ si ottiene:

$(-\frac{1}{2}\mathrm{\nabla }+V)\varphi =E\varphi$

Detto $\hat{H}=-\frac{1}{2}V+H$, si ottiene l'equazione agli autovalori per l'operatore hamiltoniana:

$\hat{H}\psi =E\psi$

Con condizione al bordo sostituita dalla richiesta che $\psi \in {ℒ}^2({ℝ}^3)$.

Tornando al problema di partenza, ovvero alla determinazione degli autovalori del laplaciano, possiamo osservare che:

• l'operatore laplaciano è un operatore lineare quando definito su $𝒟({\mathrm{\Delta }}_{D,N,R})$;
• l'operatore laplaciano è un operatore simmetrico su ${ℒ}^2(\mathrm{\Omega })$.

Da queste due proprietà seguono due teoremi, in realtà estensione di proprietà già viste nel caso finito dimensionale.

Teorema (1)

Per l'operatore laplaciano valgono le seguenti proprietà:

• gli autovalori di ${\mathrm{\Delta }}_{D,N,R}$ sono reali;
• le autofunzioni possono essere prese reali;
• ad autovalori distinti corrispondono autofunzioni ortogonali;
• gli autovettori possono costituire un sistema ortonormale completo.

Una caratterizzazione più precisa degli autovalori è data dal seguente teorema:

Teorema (2)

• gli autovalori di ${\mathrm{\Delta }}_D$ sono positivi;
• gli autovalori di ${\mathrm{\Delta }}_N$ sono non negativi, e $\lambda =0$ è autovalore;
• gli autovalori di ${\mathrm{\Delta }}_R$ sono non negativi se $\alpha (x)\ge 0$

Pertanto risulta ora chiaro che ciascuno dei problemi visti sino ad ora può essere ricondotto a un problema agli autovalori per l'operatore laplaciano. Vogliamo capire, e sarà oggetto di studio del prossimo modulo, come trovare questi autovalori e se essi possano costituire un sistema ortonormale o meno.