Equazioni differenziali alle derivate parziali/Richiami sulla teoria operatoriale

Per completezza, in questo modulo ci si occuperà di richiamare alcune delle principali nozioni legate alla teoria degli operatori.

Innanzitutto è bene inquadrare il problema: si lavorerà su spazi di Hilbert separabili $\mathscr{H}$ sul campo $ℂ$ (o $ℝ$). Sia $V$ una varietà lineare densa in $\mathscr{H}$. Sia $ℒ:V\to \mathscr{H}$ un operatore lineare; da definizione si ha che:

• $ℒ(v_1+v_2)=ℒ(v_1)+ℒ(v_2),\mathrm{\forall }{v}_i\in V$
• $ℒ(\alpha v)=\alpha ℒv,\mathrm{\forall }v\in V,\mathrm{\forall }\alpha \in 𝕂$

Nel caso infinito dimensionale può essere vero che $V$ e $\mathscr{H}$ non coincidano anche se la varietà lineare è densa in $\mathscr{H}$. Si ha che se:

$\parallel ℒv{\parallel }_{\mathscr{H}}\le M\parallel v\parallel ,\mathrm{\forall }v\in V$

Allora $ℒ$ può essere esteso a tutto $\mathscr{H}$, conservandone la limitatezza.

Teorema

Ogni operatore $ℒ$ limitato in $\mathscr{H}$ è anche continuo e viceversa.

Se un operatore è limitato si avrà che:

$\frac{\parallel ℒv\parallel }{\parallel v\parallel }\le M,\mathrm{\forall }v\in \mathscr{H},v\ne 0$

Passando all'estremo superiore, si definisce norma di un operatore la quantità:

$\parallel ℒ\parallel =\underset{v\in \mathscr{H}}{sup}\frac{\parallel ℒv\parallel }{\parallel v\parallel }$

In virtù del teorema di Riesz è possibile concludere che esiste sempre, ed è limitato, l'aggiunto di un operatore lineare e limitato.

Dimostrazione

Sia $l(u)v=⟨ℒu\mid v⟩$. Esso è un funzionale lineare limitato, infatti:

$\mid l_{u}v\mid \le \mid ⟨ℒu\mid v⟩\le \parallel ℒu\parallel \parallel v\parallel \le M\parallel u\parallel \parallel v\parallel$

Da cui segue la limitatezza di $l_u$. Si osserva anche che $l_u$ è prodotto scalare per un vettore, ovvero si può scrivere:

$l_u=⟨\cdot \mid w⟩$

Per definizione allora $w={ℒ}^{\star }$, cioè l'aggiunto di $ℒ$

Tornando per un momento a quanto fatto nel modulo precedente, ovvero la risoluzione del problema di Sturm-Liouville per inversione, si ha la seguente osservazione: il passaggio da $ℒu=\lambda u$ a $𝒢u=\frac{1}{\lambda }u$ permette di passare da un operatore di derivazione, dunque non limitato, a un operatore integrale che quindi è limitato e simmetrico.

Come conseguenza diretta di ciò si ha che ogni operatore compatto è anche limitato e il prodotto di un operatore limitato con uno compatto è ancora compatto.

In genearale si ha che ogni operatore (limitato) ha per autovalori dei numeri compresi tra $-\parallel ℒ\parallel$ e $\parallel ℒ\parallel$:

$ℒu=\lambda u\Rightarrow \parallel ℒu\parallel =\mid \lambda \mid \parallel u\parallel \Rightarrow \mid \lambda \mid =\frac{\parallel ℒu\parallel }{\parallel u\parallel }\le \parallel ℒ\parallel$

Sfruttando questi due risultati si può concludere un'importante proprietà che è riassunta dalla seguente proposizione:

Si consideri la restrizione di $ℒ$ a ${\mathscr{H}}^{(2)}$: $ℒ$ continuerà a essere simmetrico, compatto, lineare e limitato. Pertanto anche per questa restrizione di $ℒ$ esisterà un certo ${\lambda }_1$ tale da soddisfare ${\lambda }_1=\parallel ℒ{\parallel }_{{\mathscr{H}}^{(1)}}$. Iterando questo processo si potrebbe creare ${\mathscr{H}}^{(2)}$, prendere la restrizione di $ℒ$ a questo nuovo spazio di Hilbert e trovare l'autovalore ${\lambda }_2$. Questo processo iterativo porterebbe alla costruzione di una successione di autovalori $\left\{{\lambda }_n\right\}$ e alla corrispondente successione di autovettori $\left\{u_n\right\}$. Per costruzione tutti gli $u_n$ saranno tra loro ortogonali e sarà dunque possibile concludere che la successione $\left\{u_n\right\}$ costituisce un sistema ortonormale.

Teorema

Sia $\mathscr{H}$ uno spazio di Hilbert e sia $ℒ$ un operatore simmetrico e compatto su $\mathscr{H}$. Allora esiste una successione di autovalori $\left\{{\lambda }_n\right\}$ per $ℒ$ tale che:

${\lambda }_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\to }0$

I corrispondenti autovettori costituiscono un sistema ortonormale completo in $\mathscr{H}$ e vale che:

$\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H},u=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}⟨u_j\mid u⟩u_j+h$

Dove $h\in kerℒ:ℒ(h)=0$.

Dimostrazione

È già stata provata l'esistenza delle due successioni $\left\{u_n\right\}$ e $\left\{{\lambda }_n\right\}$. Si supponga, per assurdo, che la successione degli autovalori ${\lambda }_n$ non tenda a zero per $n$ che tende all'infinito. Si può dunque costruire la successione dei $v_k$ siffatti:

$v_k=\frac{1}{{\lambda }_k}{u}_k$

Questa successione è limitata per ché $\parallel u_k\parallel =1$ e perché, per ipotesi di assurdo, il limite di ${\lambda }_k$ non è zero. La successione $\left\{ℒv_k\right\}$ è compatta, dunque:

$\parallel ℒv_k-ℒv_j{\parallel }^2=\parallel u_k-u_j{\parallel }^2=2$

Dunque $\left\{ℒv_k\right\}$ non converge e quindi si deve concludere, contro l'ipotesi di assurdo, che:

${\lambda }_k\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\to }0$

Sia ora $u^{(N)}=\sum _{j=0}^N⟨u_j\mid u⟩u_j$, si ha che:

$\parallel ℒ(u-u^{(N)})\parallel \le \mid {\lambda }_N\mid \parallel u-u_N\parallel \le \mid {\lambda }_N\mid \parallel u\parallel ,u^{(N)}\in {\mathscr{H}}^{(N)}$

Sapendo che che per $n\to +\mathrm{\infty }$, ${\lambda }_n\to 0$, si conclude:

$ℒ(u-u^{(N)})\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{\to }0$

Dalla continuità di $ℒ$ segue che $ℒ(u-u^{(+\mathrm{\infty })})=0$, che significa che $(u-u^{(+\mathrm{\infty })})\in kerℒ$. Dunque, detto $h=u-u^{(+\mathrm{\infty })}$ si ha che:

$u=\sum _{j=0}^{+\mathrm{\infty }}⟨u_j\mid u⟩u_j+h$