Equazioni differenziali alle derivate parziali/Sviluppi di Fourier e identità di Parseval

Nei moduli precedenti sono stati trovati gli autovalori e gli autovettori per l'operatore $\widehat{ℒ}$ nel caso di condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann:

• per condizioni al bordo di Dirichlet:

  ${\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2,f_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(k_{n}x\right),n\ge 1$

• per condizioni al bordo di Neumann:

  ${\lambda }_n={\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2,f_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\cos \left(k_{n}x\right),n\ge 0$

Avendo poi osservato che la successione degli autovettori, in entrambi i casi, costituiva un sistema ortonormale completo. Anche per ${\widehat{ℒ}}_R$ (ovvero con condizioni al bordo di Robin), seppur non si sia in grado di fare esattamente i conti, si potrà concludere che la ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ costituisce un sistema ortonormale completo. Questa proprietà degli autovalori discende dal seguente teorema.

Sia ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ una successione di autovettori ortonormali nello spazio di Hilbert $\mathscr{H}$, nel caso in esame $L^2$, e siano $c_1,c_2,\dots ,c_N$ dei coefficienti numerici. Allora:

$\parallel f-\sum _{n=1}^N{c}_n{f}_n\parallel \ge \parallel f-\sum _{n=1}^N⟨f\mid f_n⟩f_n\parallel$

I coefficienti $⟨f\mid f_n⟩$ si chiamano coefficienti di Fourier di $f$, rispetto a ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$.

Il teorema afferma che nell'approssimare $f$ con una somma parziale, l'errore minimo che si introduce è quello in cui l'approssimazione è data in sviluppo in serie di Fourier. Un altro importante punto da sottolineare è il seguente: in virtù del teorema appena enunciato è possibile concludere che la serie $\sum _{n=1}^N\mid ⟨f\mid f_n⟩{\mid }^2$ converge, ma non è detto (a priori) che essa converga a $\parallel f{\parallel }^2$. Vediamo ora la dimostrazione del teorema.

Si ha che:

$\parallel f-\sum _{n=1}^N{c}_n{f}_n{\parallel }^2=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{(f-\sum _{n=1}^N{c}_n{f}_n)}^{2}dx=$

$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{2}dx-2\sum _{n=1}^N{c}_n\underset{a}{\overset{b}{\int }}f{f}_{n}dx+\sum _{n=1}^N\sum _{m=1}^N{c}_n{c}_m\underset{{\delta }_{n,m}}{\underbrace{\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}_n{f}_{m}dx}}=$

$=\parallel f{\parallel }^2-2\sum _{n=1}^N{c}_n⟨f\mid f_n⟩+\sum _{n=1}^N{c}_n^2=\parallel f{\parallel }^2+\sum _{n=1}^N{(c_n-⟨f\mid f_n⟩)}^2-\sum _{n=1}^N{\left(⟨f\mid f_n⟩\right)}^2\ge$

$\ge \parallel f{\parallel }^2-\sum _{n=1}^N{\left(⟨f\mid f_n⟩\right)}^2=\parallel f-\sum _{n=1}^N⟨f\mid f_n⟩f_n{\parallel }^2\ge 0$

Quindi è possibile concludere che:

$\parallel f-\sum _{n=1}^N{c}_n{f}_n\parallel \ge \parallel f-\sum _{n=1}^N⟨f\mid f_n⟩f_n\parallel$

Concludiamo questo modulo riprendendo l'osservazione fatta in precedenza: il teorema appena dimostrato permette di concludere che $\mathrm{\forall }f\in \mathscr{H}$ la serie dei suoi coefficienti di Fourier converge. Tuttavia non è possibile affermare, a priori, che essa converga a $\parallel f\parallel$: affinché ciò sia vero è necessario che la successione ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{+\mathrm{\infty }}$ sia un sistema ortonormale completo. In tal caso vale l'identità di Parseval:

$\parallel f{\parallel }^2=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\mid ⟨f\mid f_n⟩{\mid }^2$

Si osservi anche che per poter portare avanti il discorso appena fatto non è stato necessario lavorare con un particolare spazio di Hilbert, ma è stato sufficiente usare la nozione di norma, e le sue proprietà, in uno spazio di Hilbert: questo a indicare l'estrema generalità di quanto appena fatto.