Equazioni differenziali alle derivate parziali/Teorema di Liouville

Teorema

Sia $u:{ℝ}^n\to ℝ$ armonica e limitata. Allora $u$ è costante.

Dimostrazione

Prendiamo $x_0\in {ℝ}^n$, $u(x_0)={\oint }_{B(x_0,r)}u(y)dy$. Sappiamo che $u$ è analitica quindi possiamo fare la derivata del laplaciano:

$\frac{\partial }{\partial x_i}\mathrm{\Delta }u=0=\mathrm{\Delta }\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)\to \mathrm{\Delta }{u}_{x_i}=0$

anche la derivata prima di $u$ è armonica e quindi possiamo usare la proprietà della media.

$u_{x_i}(x_0)={\oint }_{B(x_0,r)}{u}_{x_i}(y)dy$

Utilizziamo la prima formula di Green:

$u_{x_i}=\frac{1}{\alpha (n)r^n}\underset{B(x_0,r)}{\int }1\cdot \frac{\partial u}{\partial x_i}(y)dy=\frac{1}{\alpha (n)r^n}\underset{\partial B(x_0,r)}{\int }u(y)\cdot n_{i}d\sigma (y)$

Abbiamo legato derivata con la funzione $u$, ma ora sappiamo che $u$ è limitata.

$\begin{array}{cc}|\frac{\partial u}{\partial x_i}(x_0)|& =|\frac{1}{\alpha (n)r^n}\underset{\partial B(x_0,r)}{\int }u(y)\cdot n_{i}d\sigma (y)|\\ & \le {\left|u\right|}_{{ℒ}^{\mathrm{\infty }}}\cdot \frac{1}{\alpha (n)r^n}\underset{\partial B}{\int }1d\sigma (y)\\ & \le {\left|u\right|}_{{ℒ}^{\mathrm{\infty }}}\frac{n\alpha (n)r^{n-1}}{\alpha (n)r^n}\le \frac{n{\left|u\right|}_{{ℒ}^{\mathrm{\infty }}}}{r}\end{array}$

Siccome deve valere per ogni $r$ allora si ottiene che $\frac{\partial u}{\partial x_i}=0\mathrm{\forall }{x}_0\in {ℝ}^n$, quindi $u$ è costante in ${ℝ}^n$.