Esercizi di fisica con soluzioni/Elettrostatica

Esercizi

1. Forza elettrica e gravitazionale

Calcolare il rapporto tra l'attrazione elettrica $F_e$ tra un protone ed un elettrone e l'attrazione gravitazionale $F_g$.

2. Quattro cariche eguali

Quattro cariche eguali $Q$ sono poste su ognuno degli spigoli di un quadrato di lato $l$ (piano $xy$) (con il centro del quadrato nell'origine delle coordinate). Determinare il modulo del campo elettrico generato da una singola carica e dall'insieme delle cariche in un punto sull'asse del quadrato a distanza $l$ (cioè sull'asse $z$ nel punto $(0,0,l)$ se l'origine è al centro del quadrato).

(dati del problema $Q=6\mu C$, $l=1m$)

3. Tre cariche eguali

Tre cariche eguali $q$ praticamente puntiformi sono poste nel vuoto ai vertici di un triangolo equilatero di lato $l$. Quale carica $q_o$ va posta nel centro del triangolo affinché la forza che agisce su ciascuna carica risulti nulla.?

(dati del problema $q=0.1\mu C$)

4. Due sbarrette perpendicolari

Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe $l$, sono disposte perpendicolarmente tra di loro. Detta $d$ la distanza del punto $P$ dalla estremità delle due sbarrette. Su ciascuna sbarretta è distribuita uniformemente una carica $q$. Determinare l'intensita' del campo elettrico in $P$.

(dati del problema $l=1m$, $q=5nC$, $d=0.1m$)

5. Dipoli differenza di potenziale

Un dipolo: due cariche $q$ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza $d$. Determinare la differenza di potenziale (rispetto all'infinito) esatta ed approssimata, in un punto a distanza $3d$, la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di $\theta$ con la congiungente delle cariche stesse.

(dati del problema $q=5nC$, $d=3cm$, $\theta =20^o$ )

6. Un disco uniformemente carico

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di un disco di raggio $R$ posto nel vuoto su cui è distribuita uniformemente una carica $Q$.

(dati $Q=1\mu C$, $R=10cm$).

7. Otto cariche eguali

Otto cariche eguali $Q$ sono disposte sui vertici di un cubo di lato $a$. Assunto un sistema di riferimento con origine al centro del cubo e con assi delle coordinate paralleli agli spigoli del cubo. Determinare il campo elettrico su uno qualsiasi degli assi delle coordinate a distanza $\alpha a$ dall'origine, confrontando tale valore con il campo calcolato approssimativamente (ipotesi di una carica puntiforme equivalente al centro). Inoltre scrivere la formula esatta per $\alpha$ generico.

(dati del problema: $a=1cm$, $Q=1nC$, $\alpha =3$ )

8. Quattro cariche di segno opposto

Sui vertici di un quadrato di lato $l$ sono disposte delle cariche eguali in modulo $Q$, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta. Determinare il modulo della forza elettrica che agisce su ogni carica.

(dati del problema $Q=6mC$, $l=1m$)

9. Un dipolo

Un dipolo: due cariche $q$ di segno opposto nel vuoto, sono poste ad una distanza $d$. Determinare il rapporto tra l'intensità esatta ed approssimata del campo elettrico ad una distanza $2d$ dal loro centro, in un punto la cui congiungente con il centro delle cariche forma un angolo di $\theta =45^o$ con la congiungente delle cariche stesse.

10. Una spira circolare carica

Calcolare il campo elettrico generato sull'asse di una spira circolare filiforme di raggio $R$ posta nel vuoto in cui è distribuita uniformemente una carica $Q$. Discutere i casi limite: $x\to 0$ e $x\gg R$

(dati $Q=1\mu C$, $R=10cm$).

11. Un semplice quadripolo

Sui vertici di un quadrato di lato $l$ sono disposte delle cariche eguali in modulo $q$, ma di segno opposto. In maniera che vertici vicini hanno carica opposta.

Scrivere l'espressione del campo elettrico lungo l'asse delle $x$, ed in particolare calcolarne il valore per $x=0,l,10l$ .

(dati del problema $q=4\mu C$, $l=10cm$)

12. Una sbarretta sottile isolante

Una sbarretta sottile di materiale isolante ha una lunghezza $l$. Su di essa è distribuita uniformemente una carica $q$. Assunto un riferimento cartesiano con asse $x$ coincidente con la direzione della sbarretta e origine nel suo centro. Trovare per quali $d$ sono di pari intensità i campi elettrici in (d,0) e (0,d) a meno dell'1\%. (dati del problema $l=1m$, $q=5nC$)

13. Tre particelle cariche

Tre particelle cariche sono poste come in figura, separate da una distanza $d$. Le cariche $q_1$ e $q_2$ sono tenute ferme, da forze non elettriche, mentre la carica $q_3$ soggetta alla sola forza elettrica è in equilibrio. Si determini il valore di $q_1$ e la forza elettrica che agisce sulla carica $1$.

(dati del problema $q_2=1nC$, $q_3=2nC$, $d=1cm$)

14. Anello carico

Su un anello di raggio $R$ è distribuita uniformemente la carica $q$. Una particella di carica $-q$ viene posta con velocità nulla a distanza $R$ dal centro. Determinare la velocità della particella quando passa per l'origine (immaginando che la particella sia vincolata a muoversi sull'asse normale al piano passante per il centro dell'anello).

(dati del problema $q=10^{-6}C$, $R=10cm$, $m=1g$ )

15. Due dipoli

Due dipoli elettrici di piccole dimensioni sono eguali e posti sullo stesso asse a distanza $z$. a) Determinare la forza con cui attraggono. b) Se invece l'asse del primo rimane lo stesso ed il secondo viene ruotato di 90^o e sono sempre posti alla stessa distanza quale è il momento della forza che il primo esercita sul secondo?

(dati del problema $|p|=10^{-10}Cm$, $z=1cm$)

16. Piano con foro

Una particella dotata di carica $q$ e massa $m$ si trova in prossimità di un piano orizzontale isolante carico con densità di carica uniforme $\sigma$ in cui è praticato un foro circolare di raggio $R$ e centro $C$.

1) Si calcoli l'altezza $h_o$ rispetto a $C$ del punto lungo l'asse del foro in cui la particella è in equilibrio.

2) Se la particella è inizialmente ferma lungo l'asse ad un'altezza $h_o/2$ rispetto a $C$, osservando che la particella attraversa il centro del foro, quale sarà la sua velocità?

(Dati del problema: $q=1nC$, $m=1mg$, $\sigma =1\mu C/m^2$, $R=1m$. Si intende che agiscono sulla particella sia le forze elettrostatiche che la forza peso)

17. Due sbarre allineate

Due sbarrette sottili di lunghezza $l$ sono cariche uniformemente con una carica $-q$ e $q$ come mostrato in figura. Le sbarrette sono disposte secondo l'asse delle $x$ con i loro centri distanti $a$.

Determinare il campo generato nel centro del sistema (origine delle coordinate) e nel punto $10a$ (sull'asse delle $x$). (Nel secondo punto eventualmente si può approssimare il sistema con un dipolo equivalente).

(Dati del problema $l=5cm$, $q=10nC$, $a=20cm$)

18. Anello con distribuzione dipolare

Un anello che giace nel piano x,y ed ha raggio $R$, ha una carica che varia lungo la circonferenza secondo la legge:

$\lambda =A\sin \theta$

dove $\theta$ è l'angolo con l'asse delle $x$ per cui la carica è positiva per $y>0$ e negativa per $y<0$. Determinare 1) la carica totale lungo il semianello in cui le y sono positive; 2) l'espressione del campo elettrico nei punti lungo l'asse $z$ ed in particolare per $z=R$; 3) il dipolo elettrico equivalente del sistema .

(dati del problema $R=1cm$, $A=10^{-9}C/m$)

19. Piano tagliato

Un piano infinito carico con una densità di carica uniforme $\sigma$ ha uno stretto taglio di dimensioni $d$. Determinare il campo generato sulla normale al taglio a grande distanza da $D$ ($d\ll D$).

20. Goccia d'olio

Una goccia sferica di olio (liquido isolante) ha una carica distribuita uniformemente al suo interno di Q_o e sulla sua superficie un campo elettrico pari a E_o. Determinare a) il raggio R_o della sfera b) la differenza di potenziale tra la superficie della goccia ed il suo centro c) l'energia necessaria a creare tale distribuzione di carica e come cambia tale energia se la goccia di spezza in due frammenti identici sferici di pari densità (elettrica e di massa) separati ad una distanza molto maggiore delle loro dimensioni (praticamente all'infinito).

(dati del problema $Q_o=1nC$, $E_o=10^{6}V/m$)

21. Tre cariche sui vertici di un quadrato

Su tre vertici di un quadrato di lato $a$ sono fissate rispettivamente due cariche positive $q$ ed una negativa $-2q$ come mostrato in figura. Sul quarto spigolo $P_1$ viene posta una carica $q_1$, di massa $m_1$ con velocità nulla. Determinare: a) l'accelerazione della carica $q_1$ nel punto $P_1$ e b) la velocità con cui arriva nel punto $P_2$ (sulla continuazione della diagonale del quadrato).

(Dati del problema: $q=1nC$, $a=1mm$, $q_1=1pC$, $m_1=10^{-10}kg$)

22. Due cariche sui vertici di un triangolo

Si consideri un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lunghezza $l$. Sulla ipotenusa (asse orizzontale) ad un estremo è posta una carica puntiforme $Q_1$, mentre all'estremità opposta è posta una carica $Q_2$ di valore variabile pari a $Q_2=\alpha Q_1$. Determinare sul vertice $P$ opposto all'ipotenusa del triangolo: a) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente orizzontale; b) il valore delle componenti del campo elettrico nel caso in cui è massima la componente verticale; c) il valore di $\alpha$ per cui è minimo il modulo del campo elettrico ed il suo valore.

(Dati del problema: $Q_1=1\mu C$, $l=1m$, $-1\le \alpha \le 1$)

23. Semisfera

Determinare il campo elettrico al centro di una semisfera di materiale isolante con pareti sottili e forma semisferica raggio $R$ e carica $Q$.

24. Carica e dipolo

Una carica $q=100pC$ è posta nell'origine delle coordinate e ad una distanza $d=1cm$ vi è un dipolo elettrico, con momento $|p|=2\times 10^{-14}Cm$, orientato parallelamente alle linee del campo generato dalla carica (così da essere attratto) . Assunto come asse delle $x$ la congiungente la carica ed il dipolo; determinare a) la forza con cui si attraggono, nell'ipotesi che le dimensioni fisiche del dipolo siano trascurabili rispetto a $d=1cm$; b) il campo elettrico generato nel punto $x=2d/3$; c) la differenza di potenziale tra $x=0.2d$ e $x=0.8d$.

Soluzioni

1. Forza elettrica e gravitazionale

L'attrazione gravitazionale tra un protone ed un elettrone può essere espressa come:

$F_g=G\frac{m_p{m}_e}{r^2}$

Con $m_p$ abbiamo indicato la massa del protone,

$m_p=1.672623\cdot 10^{-27}kg$

$G=6.7\cdot 10^{-11}N{m}^2/k{g}^2$

mentre con $m_e$ indichiamo la massa dell'elettrone,

$m_e=9.109389\cdot 10^{-31}kg$

L'attrazione elettrostatica, sempre tra un protone ed un elettrone, vale:

$F_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{e^2}{r^2}$

Con $e$ abbiamo indicato sia la carica del protone che la carica dell'elettrone,

$e=1.60217733\cdot 10^{-19}C$

Dato che le due forze dipendono nello stesso modo dalla distanza, il loro rapporto ne è indipendente, a qualsiasi distanza, quindi:

$R=\frac{F_e}{F_g}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{e^2}{G{m}_p{m}_e}=\frac{9\cdot 10^9\cdot {(1.6\cdot 10^{-19})}^2}{6.7\cdot 10^{-11}\cdot (1.67\cdot 10^{-27})\cdot (9.1\cdot 10^{-31})}\approx 2\cdot 10^{39}$

2. Quattro cariche eguali

La distanza di ogni carica dal punto dato vale:

$r=\sqrt{l^2/2+l^2}=l\sqrt{3/2}$

Ognuna delle cariche genera un campo in modulo pari a:

$|E|=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}=\frac{Q}{6\pi {\epsilon }_o{l}^2}=3.6\cdot 10^{4}V/m$

La componente di tale campo nella direzione del piano del quadrato si annulla con quella dello spigolo opposto. Per cui solo la componente lungo l'asse del quadrato non è nulla ed eguale per tutti gli spigoli:

$E_a=|E|\frac{l}{r}=\frac{Q}{6\pi {\epsilon }_o{l}^2}\frac{l}{r}=\frac{Q}{6\pi {\epsilon }_o{l}^2}\sqrt{\frac{2}{3}}$

Quindi sommando i 4 contributi:

$|E_t|=\frac{4Q}{6\pi {\epsilon }_o{l}^2}\sqrt{\frac{2}{3}}=11.7\cdot 10^{4}V/m$

3. Tre cariche eguali

Al centro di ogni poligono regolare il campo elettrico è nullo per ragioni semplici di geometria. Quindi ci interessa solo la forza che agisce sugli spigoli del triangolo.

Se definiamo $1$ e $2$ le cariche in basso e $3$ quella in alto disponendole come in figura. Detto $l$ il lato del triangolo:

$|F_{13}|=|F_{23}|=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q^2}{l^2}$

Le componenti delle due forze nella direzione $x$ si annullano a vicenda per cui rimane solo la componente lungo $y$ se definisco $\theta$ l'angolo formato dalla verticale con i lati obliqui del triangolo. Tale angolo vale $30^o$. Quindi la componente lungo l'asse $y$ di tali forze valgono:

$F_{13y}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q^2}{l^2}\cos \theta$

Quindi la forza totale vale:

$F_{ty}=2\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q^2}{l^2}\cos \theta =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q^2}{l^2}\sqrt{3}$

avendo sostituito a $\cos 30^o$ il suo valore $\sqrt{3}/2$.

La distanza dai vertici della carica al centro è l'ipotenusa (r) di un triangolo rettangolo con cateto $l/2$ e angolo tra ipotenusa e cateto di $30^o$. Quindi:

$r\cos 30^o=\frac{l}{2}\to r=l/\sqrt{3}$

Quindi la forza dovuta alla carica al centro:

$F_{0y}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_{o}q}{r^2}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_{o}q}{(l/\sqrt{3}{)}^2}$

Affinché la forza totale sia nulla:

$\frac{q{q}_o}{4\pi {ϵ}_o(l/\sqrt{3}{)}^2}+\frac{q^2\sqrt{3}}{4\pi {ϵ}_o{l}^2}=0$

quindi:

$q_o=-q\frac{\sqrt{3}}{3}=-58nC$

4. Due sbarrette perpendicolari

Detto:

$\lambda =\frac{q}{l}$

Il campo generato dalla prima barretta vale:

$E_x=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{d}{\overset{d+l}{\int }}\frac{\lambda dx}{x^2}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{l}[\frac{1}{d}-\frac{1}{d+l}]=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{o}d(d+l)}$

Per simmetria quello generato dall'altra sbarretta vale:

$E_y=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{o}d(d+l)}$

Quindi l'intensità del campo vale: $|E|=\frac{q\sqrt{2}}{4\pi {\epsilon }_{o}d(d+l)}=578V/m$

5. Dipoli differenza di potenziale

Assunta origine sul centro del dipolo e asse delle $x$ coincidente con l'asse del dipolo. Le coordinate del punto valgono:

$x_1=3d\cos \theta =0.085m$

$y_1=3d\sin \theta =0.031m$

Quindi il punto dista dalla carica positiva:

$d_1=\sqrt{(x_1-d/2{)}^2+y_1^2}=0.076m$

e da quella negativa:

$d_2=\sqrt{(x_1+d/2{)}^2+y_1^2}=0.104m$

Il potenziale esatto vale:

$V_e=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}q(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2})=160V$

Mentre quello approssimato vale:

$V_a=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{qd3d\cos \theta }{(3d{)}^3}=156V$

6. Un disco uniformemente carico

La densità di carica superficiale vale:

$\sigma =\frac{Q}{\pi R^2}$

Seguendo la falsariga dell'esercizio sulla spira carica in cui una spira di raggio $r$ e con carica $Q$ distribuita uniformemente sull'anello $\lambda =Q/2\pi r$, generava un campo su un punto generico dell'asse:

$E_x=\frac{\lambda R}{2{\epsilon }_o}\frac{x}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{x}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}$

Se consideriamo i differenziali equivalenti: $d{E}_x$ invece di $E_x$ e $dQ=\sigma 2\pi rdr=(Q2rdr)/(R^2)$ invece di $Q$. Si ha che:

$d{E}_x=\frac{Q2rdr}{4\pi R^2{\epsilon }_o}\frac{x}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}$

Quindi:

$E_x=\frac{Qx}{4\pi R^2{\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{2rdr}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}=\frac{Qx}{4\pi R^2{\epsilon }_o}{\left[\frac{-2}{(r^2+x^2{)}^{1/2}}\right]}_0^R=\frac{Q}{2\pi R^2{\epsilon }_o}[\frac{x}{|x|}-\frac{x}{(R^2+x^2{)}^{1/2}}]$

Se $x\ll R$ il termine $\frac{x}{(R^2+x^2{)}^{1/2}}$ è trascurabile e quindi:

$E_x\approx \frac{2Q}{4\pi R^2{\epsilon }_o}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_o}$

Mentre se $x\gg R$ si può approssimare $E_x$ facendo lo sviluppo di Taylor del termine all'interno delle parentesi quadre con:

$[1-\frac{x}{(R^2+x^2{)}^{1/2}}]\approx \frac{R^2}{2x^2}$

quindi quando $x\gg R$ si ha che lungo l'asse il campo vale:

$E_x=\frac{Q}{4\pi x^2{\epsilon }_o}$

come quello di una carica puntiforme posta sull'asse.

7. Otto cariche eguali

La distanza tra il punto e le 4 cariche vicine del cubo vale:

$d_1=\sqrt{(a\alpha -a/2{)}^2+a^2/2}=0.0255m$

L'unica componente del campo che non si compensa tra spigolo opposti è quella lungo l'asse delle $x$ quindi essendo il coseno dell'angolo formato con l'asse delle $x$:

$\cos {\theta }_1=\frac{\alpha a-a/2}{\sqrt{(a\alpha -a/2{)}^2+a^2/2}}=0.962$

Analogamente per le cariche lontane:

$d_2=\sqrt{(a\alpha +a/2{)}^2+a^2/2}=0.035m$

$\cos {\theta }_2=\frac{\alpha a+a/2}{\sqrt{(a\alpha +a/2{)}^2+a^2/2}}=0.98$

Quindi il valore del campo esatto, nella sola direzione $x$, vale: $E_e=\frac{q}{\pi {\epsilon }_o}(\frac{\cos {\theta }_1}{d_1^2}+\frac{\cos {\theta }_2}{d_2^2})=7.89\cdot 10^{4}V/m$

Mentre quello approssimato vale:

$E_a=\frac{2q}{\pi {\epsilon }_o(\alpha a{)}^2}=8\cdot 10^{4}V/m$

La formula generale vale: $E_e=\frac{q}{\pi {\epsilon }_o{a}^2}\{\frac{\alpha -1/2}{[(\alpha -1/2{)}^2+1/4{]}^{3/2}}+\frac{\alpha +1/2}{[(\alpha +1/2{)}^2+1/4{]}^{3/2}}\}$

che per $\alpha$ grande diventa:

$E_e\approx \frac{2q}{\pi {\epsilon }_o(\alpha a{)}^2}$

8. Quattro cariche di segno opposto

Le due cariche vicine, generano due forze attrattive di intensità:

$|F_1|=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2}=3.2710^{5}N$

Quindi in totale, essendo a $90^o$ una forza attrattiva lungo la diagonale pari a:

$|F_a|=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2}\sqrt{2}=4.5710^{5}N$

La carica più lontana, genera una forza repulsiva lungo la diagonale pari a:

$|F_r|=\frac{Q^2}{4\pi {\epsilon }_o{l}^{2}2}=1.6210^{5}N$

Quindi in totale la forza è attrattiva e vale:

$|F_t|=|F_a|-|F_r|=2.9610^{5}N$

9. Un dipolo

Assunto come origine il centro delle due cariche e la loro congiungente come asse delle $x$, mentre la perpendicolare sul piano è l'asse delle $y$: $-q$ è in $(-d/2,0,0)$, $+q$ è in $(d/2,0,0)$, mentre il punto è in ($\sqrt{2}d,\sqrt{2}d,0$). Quindi la distanza dalla carica negativa vale:

$|r_{-}|=\sqrt{2d^2+(d\sqrt{2}+d/2{)}^2}=d\sqrt{2+2+1/4+\sqrt{2}}=2.4d$

Mentre da quella positiva:

$|r_{+}|=\sqrt{2d^2+(d\sqrt{2}-d/2{)}^2}=d\sqrt{2+2+1/4-\sqrt{2}}=1.7d$

Il campo esatto per le componenti x vale:

$E_{x+}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{d\sqrt{2}-d/2}{(1.7d{)}^3}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{d^2}0.19$

$E_{x-}=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{d\sqrt{2}+d/2}{(2.4d{)}^3}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{d^2}0.14$

$E_x=E_{x+}+E_{x-}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{d^2}0.049$

Il campo approssimato per le componenti y vale:

$E_{y+}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{d\sqrt{2}}{(1.7d{)}^3}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{d^2}0.29$

$E_{y-}=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{d\sqrt{2}}{(2.4d{)}^3}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{d^2}0.1$

$E_y=E_{y+}+E_{y-}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{d^2}0.191$

$|E_e|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=0.19753\frac{1}{4\pi {ϵ}_o}\frac{q}{d^2}$

Mentre quello approssimato:

$p=(qd,0,0)$

$r=(\sqrt{2}d,\sqrt{2}d,0)$

Quindi:

$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r}=\sqrt{2}q{d}^2$

Essendo:

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o{r}^5}[3(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{r})\overrightarrow{r}-r^2\overrightarrow{p}]$

$E_x=\frac{1}{4\pi {ϵ}_o{2}^5{d}^5}[3\sqrt{2}q{d}^2\sqrt{2}d-4d^{2}qd]=\frac{q}{4\pi {ϵ}_o{d}^2}0.0625$

$E_y=\frac{1}{4\pi {ϵ}_o{d}^5}\left[3\sqrt{2}q{d}^2\sqrt{2}d\right]=\frac{1}{4\pi {ϵ}_o}\frac{q}{d^2}0.187$

per cui:

$|E_a|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=0.19764\frac{1}{4\pi {ϵ}_o}\frac{q}{d^2}$

Quindi il rapporto vale:

$\frac{|E_e|}{|E_a|}=0.9994$

Quindi le componenti esatte sono diverse da quelle approssimate, ma il modulo del campo elettrico è molto simile.

10. Una spira circolare carica

La densità di carica vale:

$\lambda =\frac{Q}{2\pi R}$

Assunta come origine il centro della spira e asse delle $x$ l'asse della spira. Il campo elettrico generato dal generico elemento $\overrightarrow{dl}$ di circonferenza vale in modulo:

$|dE|=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{\lambda dl}{r^2}$

Dove:

$r^2=R^2+x^2$

Interessa calcolare solo la componente $d{E}_x$ di $\overrightarrow{dE}$. Infatti per ogni elemento $\overrightarrow{dl}$ esiste un altro elemento, diametralmente opposto, che genera una componente normale all'asse $x$ uguale ed opposta a quella generata dall'elemento considerato.

$d{E}_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{\lambda dl}{r^2}\cos \vartheta$

Detto $\vartheta$ l'angolo formato dalla congiungente l'elementino $dl$ con il punto sull'asse e l'asse delle $x$. Integrando su $dl$ lungo tutta la circonferenza, e considerando che, fissato $x$, sia $R$, che $\vartheta$ sono costanti:

$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{\lambda }{r^2}\cos \vartheta \int dl=\frac{2\pi R}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{\lambda }{r^2}\cos \vartheta$

Geometricamente è facile mostrare che:

$\cos \vartheta =\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}$

Quindi:

$E_x=\frac{\lambda R}{2{\epsilon }_o}\frac{x}{(x^2+R^2{)}^{3/2}}$

Essendo:

$\lambda =\frac{Q}{2\pi R}$

$E_x=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{x}{(x^2+R^2{)}^{3/2}}$

Tale campo vale per $x=0$:

$E_x(x=0)=0$

Inoltre:

$E_x(x\gg R)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{1}{x^2}$

Nella figura viene graficato il valore della funzione $E_x$ e della espressione approssimata ottenuta ponendo all'origine una carica $Q$

11. Un semplice quadripolo

Solo la componente $y$ del campo elettrico è diversa da 0, in particolare le due cariche più distanti (rispetto un punto sull'asse delle $x$ positivo) generano un campo:

$E_{1y}=-\frac{2ql/2}{4\pi {\epsilon }_o{[(x+l/2{)}^2+(l/2{)}^2]}^{3/2}}$

mentre le più vicine:

$E_{1y}=+\frac{2ql/2}{4\pi {\epsilon }_o{[(x-l/2{)}^2+(l/2{)}^2]}^{3/2}}$

Quindi in totale:

$E_y=\frac{ql}{4\pi {\epsilon }_o}\{\frac{1}{{[(x-l/2{)}^2+(l/2{)}^2]}^{3/2}}-\frac{1}{{[(x+l/2{)}^2+(l/2{)}^2]}^{3/2}}\}$

Ovviamente tale funzione vale $0$ per $x=0$, mentre per gli altri due casi:

$E_y(x=l)=9.3MV/m$

$E_y(x=10l)=1.08kV/m$

A grande distanza si comporta come un quadripolo il cui campo diminuisce con la quarta potenza della distanza.

12. Una sbarretta sottile isolante

a) Detto :

$\lambda =\frac{q}{l}$

Il campo generato dalla sbarretta nel punto (d,0), vale:

$E_x=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int }}\frac{\lambda dx}{{(d-x)}^2}=\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_o}[\frac{1}{d-l/2}-\frac{1}{d+l/2}]=\frac{\lambda l}{4\pi {\epsilon }_o(d^2-l^2/4)}$

Nel punto (0,d) per ragioni di simmetria il campo può essere solo diretto secondo l'asse delle y, per cui:

$E_y=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{-l/2}{\overset{l/2}{\int }}\frac{\lambda dx}{(x^2+d^2)}\frac{d}{\sqrt{x^2+d^2}}=\frac{\lambda d}{4\pi {\epsilon }_o}{\left[\frac{x}{d^2\sqrt{x^2+d^2}}\right]}_{-l/2}^{l/2}=\frac{\lambda l}{4\pi {\epsilon }_{o}d\sqrt{l^2/4+d^2}}$

Notare come a parità di distanza sempre nel punto (0,d) il campo sia inferiore al valore in (d,0).

A grande distanza i due valori coincidono e tendono a:

$\frac{\lambda l}{4\pi {\epsilon }_o{d}^2}$

Quindi imponendo che:

$\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o(d^2-l^2/4)}=1.01\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{o}d\sqrt{l^2/4+d^2}}$

$\frac{1}{d^2-l^2/4}=\frac{1.01}{d\sqrt{l^2/4+d^2}}$

Segue che la condizione viene realizzata se:

$d\ge 6.14m$

13. Tre particelle cariche

Il problema è unidimensionale per cui si omette il segno di vettore. Perché la forza elettrica che agisce sulla carica $3$ sia nulla occorre che:

$F_{13}+F_{23}=0$

Quindi essendo:

$F_{13}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_1{q}_3}{(2d{)}^2}$

$F_{23}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_2{q}_3}{(d{)}^2}$

Occorre che:

$\frac{q_1}{(2d{)}^2}=-\frac{q_2}{d^2}$

$q_1=-4q_2=-4nC$

La forza elettrica che agisce sulla carica $1$ vale (diretta da sinistra a destra):

$F_{31}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_1{q}_3}{(2d{)}^2}=0.18mN$

Mentre quella dovuta alla carica $2$ vale (diretta da sinistra a destra):

$F_{21}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q_1{q}_2}{d^2}=0.36mN$

In totale quindi:

$F_1=F_{31}+F_{21}=0.54mN$

14. Anello carico

La densità di carica vale:

$\lambda =\frac{Q}{2\pi R}$

Assunta come origine il centro della spira ed asse delle $x$ l'asse della spira. La d.d.p. tra un punto a distanza $x$ dal centro della spira vale:

$V(x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{2\pi R}{\int }}\frac{\lambda dl}{\sqrt{R^2+x^2}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{\sqrt{R^2+x^2}}$

Quindi:

$V(0)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{o}R}$

$V(R)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{o}R\sqrt{2}}$

Quindi:

$E_c=-q[V(R)-V(0)]=\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_{o}R}[1-\frac{1}{\sqrt{2}}]=0.026J$

$v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}=7.2m/s$

15. Due dipoli

Scegliamo un sistema di coordinate sul centro del primo dipolo e con l'asse $z$ diretto come l'asse del dipolo. Il campo sull'asse di un dipolo, a grande distanza dal centro, vale:

$E_z=\frac{p}{2\pi {\epsilon }_o{z}^3}$

Quindi la derivata:

$\frac{\partial E_z}{\partial z}=-\frac{3p}{2\pi {\epsilon }_o{z}^4}$

$F_z=p\frac{\partial E_z}{\partial z}=-\frac{3p^2}{2\pi {\epsilon }_o{z}^4}=0.054N$

Mentre se il secondo è ortogonale alla direzione immutata del primo.

Il primo genera il campo calcolato prima che quindi produce un momento sull'altro pari a:

$|M|=\frac{p^2}{2\pi {\epsilon }_o{z}^3}=1.8\cdot 10^{-4}Nm$

16. Piano con foro

Il campo generato dal piano lungo l'asse del foro si calcola usando il principio di sovrapposizione, infatti per quanto riguarda il piano, assunto come $z$, l'asse verticale:

$E_z=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}$

Mentre, per quanto riguarda un disco di carica $-\sigma$:

$E_z=-\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}[1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}]$

Quindi in totale:

$E_z=\frac{\sigma z}{2{ϵ}_0\sqrt{R^2+z^2}}$

La condizione di equilibrio è:

$q{E}_z-mg=0$

Da cui si ricava:

$h_o=\frac{R}{\sqrt{(q\sigma /2{ϵ}_{0}mg{)}^2-1}}\approx 17.6cm$

la differenza di potenziale tra $0$ e $h_o/2$ vale:

$V(h_0/2)-V(0)=-\underset{0}{\overset{h_0/2}{\int }}E(z)dz=-\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}{\left[\sqrt{z^2+R^2}\right]}_0^{h_0/2}=\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}(R-\sqrt{(h_0/2{)}^2+R^2})$

Agendo solo forze conservative si ha:

$\frac{1}{2}m{v}^2=q[V(h_0/2)-V(0)]+mg\frac{h_o}{2}$

Quindi:

$v=\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{q[V(h_0/2)-V(0)]+mg{h}_o/2}=1.12m/s$

17. Due sbarre allineate

Detto:

$\lambda =\frac{q}{l}$

Se chiamiamo $r$ la distanza generica di un elemento infinitesimo delle sbarrette dall'origine. Il campo generato, da un tratto infinitesimo della prima barretta sull'asse delle $x$ al centro vale: Quindi genera al centro in totale:

$E_x(x=0)=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda \underset{-a/2-l/2}{\overset{-a/2+l/2}{\int }}\frac{dr}{r^2}=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda {[-\frac{1}{r}]}_{-a/2-l/2}^{-a/2+l/2}=-\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_0}[\frac{1}{a-l}-\frac{1}{a+l}]$

Al centro l'altra sbarretta genera lo stesso campo in intensità e verso per cui:

$E_{xt}(x=0)=-\frac{\lambda }{\pi {ϵ}_0}[\frac{1}{a-l}-\frac{1}{a+l}]=-19kV/m$

In un punto generico dell'asse delle x per $x>a/2+l/2$: La prima sbarretta genera un campo:

$E_x^{-}(x)=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda \underset{-a/2-l/2}{\overset{-a/2+l/2}{\int }}\frac{dr}{(x-r{)}^2}$

Facendo un cambiamento di variabile:

$E_x^{-}(x)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda \underset{x+a/2+l/2}{\overset{x+a/2-l/2}{\int }}\frac{dy}{y^2}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda {[-\frac{1}{y}]}_{x+a/2+l/2}^{x+a/2-l/2}=$

$E_x^{-}(10a)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda [\frac{1}{10a+a/2+l/2}-\frac{1}{10a+a/2+l/2}]=-19.18V/m$

Analogamente per l'altra sbarretta:

$E_x^{+}(x)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda \underset{a/2-l/2}{\overset{a/2+l/2}{\int }}\frac{dr}{(x-r{)}^2}$

Facendo un cambiamento di variabile:

$E_x^{+}(x)=-\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda \underset{x-a/2+l/2}{\overset{x-a/2-l/2}{\int }}\frac{dy}{y^2}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda {\left[\frac{1}{y}\right]}_{x-a/2+l/2}^{x-a/2-l/2}=$

$E_x^{+}(10a)=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\lambda [\frac{1}{10a-a/2-l/2}-\frac{1}{10a-a/2+l/2}-]=24.91V/m$

In totale quindi:

$E_{xt}(x=10a)=E_x^{-}(10a)+E_x^{+}(10a)=4.52V/m$

Mentre il dipolo equivalente vale:

$p=qa$

Quindi il campo generato vale:

$E_x\approx \frac{qa}{2\pi {ϵ}_0(10a{)}^3}=4.49V/m$

Praticamente eguale al valore approssimato.

18. Anello con distribuzione dipolare

La carica per $y>0$ è quella che si ha se $0\le \theta \le \pi$:

$q^{+}=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\lambda dl$

Ma $dl=Rd\theta$ e $\lambda =A\sin \theta$ quindi:

$q^{+}=RA\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin \theta d\theta =RA{[-\cos \theta ]}_0^{\pi }=2RA=20pC$

Il campo elettrico in modulo generato da un elemento dl vale:

$|dE|=\frac{\lambda dl}{4\pi {\epsilon }_o(R^2+z^2)}=\frac{AR\sin \theta d\theta }{4\pi {\epsilon }_o(R^2+z^2)}$

$d{E}_z=|dE|\frac{z}{(R^2+z^2{)}^{1/2}}=\frac{ARz}{4\pi {\epsilon }_o(R^2+z^2{)}^{3/2}}\sin \theta d\theta$

$E_z=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d{E}_z=\frac{ARz}{4\pi {\epsilon }_o(R^2+z^2{)}^{3/2}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin \theta d\theta =0$

$d{E}_x=|dE|\frac{R}{(R^2+z^2{)}^{1/2}}\cos \theta d\theta$

$E_x=\frac{A{R}^2}{4\pi {\epsilon }_o(R^2+z^2{)}^{3/2}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\sin \theta \cos \theta d\theta =0$

$d{E}_y=-|dE|\frac{R}{(R^2+z^2{)}^{3/2}}\sin \theta d\theta$

$E_y=-\frac{A{R}^2}{4\pi {\epsilon }_o(R^2+z^2{)}^{3/2}}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{\sin }^2\theta d\theta =-\frac{A{R}^2}{4{\epsilon }_o(R^2+z^2{)}^{3/2}}$

Quindi nel caso di $z=R$:

$E_y=-\frac{A}{4{\epsilon }_{o}R{2}^{3/2}}\approx 1000V/m$

mentre per quanto riguarda il dipolo equivalente, basta prendere due tratti infinitesimi simmetrici opposti rispetto all'asse delle $x$, che distano $2R\sin \theta$ con una carica $dq=RA\sin \theta d\theta$:

$d{p}_y=RA\sin \theta d\theta 2R\sin \theta =2R^{2}A{\sin }^2\theta d\theta$

Ed integrare su metà della circonferenza:

$p_y=2R^{2}A\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^2\theta d\theta =R^{2}A\pi =3.14\cdot 10^{-13}Cm$

Avendo sostituita l'espressione dell'integrale:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{2}$

Si poteva ottenere lo stesso risultato calcolando $E_y$ a grande distanza sull'asse.

19. Piano tagliato

Il campo generato dal piano sulla verticale si calcola usando il principio di sovrapposizione: un piano infinito con densità $\sigma$ ed una striscia carica con densità $-\sigma$. Per quanto riguarda il piano, assunto come $z$, l'asse verticale:

$E_z=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_o}$

Mentre, per quanto riguarda una striscia di larghezza $d$ e densità di carica $-\sigma$, è equivalente al campo generato da un insieme di fili a distanza $\sqrt{x^2+D^2}$, per ciascuno dei quali:

$|dE|=\frac{\sigma dx}{2\pi {\epsilon }_o\sqrt{x^2+D^2}}$

La componente lungo l'asse delle $z$ di tale campo è l'unica che non si annulla per ragioni di simmetria quindi:

$d{E}_z=\frac{\sigma Ddx}{2\pi {\epsilon }_o(x^2+D^2)}$

$E_z=\frac{\sigma D}{2\pi {\epsilon }_o}\underset{-d/2}{\overset{d/2}{\int }}\frac{dx}{x^2+D^2}=\frac{2\sigma D}{2\pi {\epsilon }_{o}D}\arctan (d/2D)$

Se $d\ll D$ si ha che $\arctan (d/2D)\approx d/2D$ e quindi:

$E_z\approx \frac{\sigma d}{\pi {\epsilon }_{o}2D}$

Quindi in totale: $E_z\approx \frac{\sigma }{2{\epsilon }_o}[1-d/(\pi D)]$

20. Goccia d'olio

Per il teorema di Gauss, il campo elettrico che attraversa una sfera di raggio $r$, avente lo stesso centro della goccia, è radiale e vale:

$E(r)=\frac{Q_r}{4\pi {\epsilon }_o{r}^2}$

con Q_r pari alla carica contenuta all'interno della sfera.

a)

Quindi, sulla superficie della goccia, vale:

$E_0=\frac{Q_o}{4\pi {\epsilon }_o{R}_o^2}$

$R_0=\sqrt{\frac{Q_o}{4\pi {\epsilon }_o{E}_0}}=0.003m$

b)

Poiché la carica è distribuita uniformemente, la densità di carica è costante, pertanto

$\rho =\frac{Q_r}{v_r}=\frac{Q_o}{v_o}$

per ogni r > 0, indicando con v_r il volume della sfera di raggio r e con v_o il volume della goccia d'olio.

$Q_r=\frac{Q_o{v}_r}{v_o}=\frac{Q_o{r}^3}{R_o^3}$

La differenza di potenziale vale:

$\mathrm{\Delta }V=-\underset{0}{\overset{R_o}{\int }}E(r)dr=-\underset{0}{\overset{R_o}{\int }}\frac{Q_r}{{\epsilon }_{o}4\pi r^2}dr=\underset{0}{\overset{R_o}{\int }}\frac{Q_{o}r}{4\pi {\epsilon }_o{R}_o^3}dr=-\frac{Q_o}{8\pi {\epsilon }_o{R}_o}=-1.5kV$

c)

Quindi la densità di carica vale:

$\rho =8.85\cdot 10^{-3}C/m^3$

Immaginiamo di costruire la goccia sferica, quando il raggio vale $r$ con $0<r<R_0$, il potenziale (rispetto all'infinito della superficie della sfera vale:

$V(r)=Q(r)/(4\pi {\epsilon }_{o}r)$

con $Q(r)=\rho 4/3\pi r^3$, quindi:

$V(r)=\rho r^2/(3{\epsilon }_o)$

Se aggiungiamo una carica $dq$:

$dq=\rho 4\pi r^{2}dr$

L'energia necessaria sarà:

$dU=dqV(r)=\frac{{\rho }^{2}4\pi r^4}{3{\epsilon }_o}dr$

$U_0=\underset{0}{\overset{R_0}{\int }}\frac{{\rho }^{2}4\pi r^4}{3{\epsilon }_o}dr=\frac{{\rho }^{2}4\pi R_0^5}{15{\epsilon }_o}=\frac{3Q_0^2}{20\pi {\epsilon }_o{R}_0}=1.8\cdot 10^{-6}J$

Se la sfera si spezza in due sfere di stessa densità:

$2R_1^3=R_0^3$

$R_1=R_0/\sqrt[3]{2}=0.0021m$

$U_f=2\frac{3(Q_0/2{)}^2}{20\pi {\epsilon }_o{R}_1}=\frac{3(Q_0{)}^2}{40\pi {\epsilon }_o{R}_1}=1.3\cdot 10^{-6}J$

21. Tre cariche sui vertici di un quadrato

a) Il campo elettrico generato nel punto $P_1$ dalla carica $-2q$ è diretto secondo la diagonale e vale:

$E_{1d}=\frac{-2q}{4\pi {\epsilon }_o{a}^{2}2}$

quello generato dalle cariche poste sugli altri due spigoli valgono:

$|E_2|=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o{a}^2}$

Le componenti nella direzione perpendicolare alla diagonale si annullano e rimane solo la componente lungo la diagonale (opposta a quella della carica $-2q$)

$E_{2d}=\frac{2q}{4\pi {\epsilon }_o{a}^2\sqrt{2}}$

Quindi in totale:

$E_d=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o{a}^2}(\sqrt{2}-1)=3.7\cdot 10^{6}V/m$

Quindi dalla equazione di Newton l'accelerazione vale:

$a_1=\frac{q{q}_1}{4\pi {\epsilon }_o{a}^2{m}_1}(\sqrt{2}-1)=3.7\cdot 10^{4}m/s^2$

b) Il potenziale nel punto $P_1$ (rispetto all'infinito) vale :

$V_1=\frac{-2q}{4\pi {\epsilon }_o\sqrt{2}a}+\frac{2q}{4\pi {\epsilon }_{o}a}=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_{o}a}(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(il primo termine dovuto alla cariche $q$, l'altro dovuto alla carica $-2q$) Il potenziale nel punto $P_2$ (rispetto all'infinito) vale :

$V_2=\frac{-2q}{4\pi {\epsilon }_o\sqrt{2}2a}+\frac{2q}{4\pi {\epsilon }_o\sqrt{5}a}=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_{o}a}(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{2\sqrt{2}})$

Quindi la differenza di potenziale tra $V_1$ e $V_2$

vale:

$\mathrm{\Delta }V=V_1-V_2=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_{o}a}(1-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2\sqrt{2}})=3580V$

Quindi:

$\frac{1}{2}{m}_1{v}_2^2=q_1\mathrm{\Delta }V$

$v_1=8.5m/s$

22. Due cariche sui vertici di un triangolo

Il campo generato dalla carica 1 ha componenti:

$E_{x1}=E_{y1}=\frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2\sqrt{2}}$

mentre quello generato dalla carica 2:

$E_{x2}=-E_{y2}=\frac{Q_2}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2\sqrt{2}}=\frac{\alpha Q_1}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2\sqrt{2}}$

Quindi in totale

$E_x=\frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_o\sqrt{2}{l}^2}(1-\alpha )$

$E_y=\frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_o\sqrt{2}{l}^2}(1+\alpha )$

a) $E_x$ è massimo quando $\alpha =-1$ e vale:

$E_x=\frac{Q_1}{2\sqrt{2}\pi {\epsilon }_o{l}^2}=12.7kV/m$

mentre $E_y=0$.

b) $E_y$ è massimo quando $\alpha =1$ e vale

$E_y=\frac{Q_1}{2\sqrt{2}\pi {\epsilon }_o{l}^2}=12.7kV/m$

mentre $E_x=0$.

c) Il modulo del campo elettrico vale:

$|E|=\sqrt{E_x^2+E_y^2}=\frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2}\sqrt{1+{\alpha }^2}$

che è minima quando $\alpha =0$ e vale:

$|E|=\frac{Q_1}{4\pi {\epsilon }_o{l}^2}=9kV/m$

23. Semisfera

La densità di carica è:

$\sigma =\frac{Q}{2\pi R^2}$

Definendo con $\theta$ l'angolo tra l'asse della semisfera e il generico anello in cui possiamo dividere la superficie. Il generico anello ha un raggio $r=R\sin \theta$ e dista dal centro della semisfera $x=R\cos \theta$. Quindi il generico anello ha una carica:

$dq=\sigma 2\pi rRd\theta =\sigma 2\pi R^2\sin \theta d\theta$

Un anello carico genera su un punto a distanza $x$ un campo:

$d{E}_x=\frac{dq}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{x}{(x^2+r^2{)}^{3/2}}$

Quindi in questo caso il generico anello infinitesimo:

$d{E}_x=\frac{\sigma 2\pi R^2\sin \theta d\theta }{4\pi {\epsilon }_o}\frac{R\cos \theta }{R^3({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta {)}^{3/2}}=\frac{\sigma \sin \theta \cos \theta d\theta }{2{\epsilon }_o}$

Quindi:

$E_x=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sin \theta \cos \theta d\theta =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_o}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sin \theta d\sin \theta =\frac{\sigma }{2{\epsilon }_o}{\left[\frac{{\sin }^2\theta }{2}\right]}_0^1=\frac{\sigma }{4{\epsilon }_o}=\frac{Q}{8\pi {\epsilon }_o{R}^2}$

24. Carica e dipolo

a)

Un dipolo, posto nel punto di coordinate $d$, genera lungo il suo asse un campo pari:

$E_x=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_o}\frac{p}{(d-x{)}^3}$

In particolare per $x=0$ (dove è la carica $q$):

$E_x=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_o}\frac{p}{(d{)}^3}=360V/m$

Quindi la forza attrattiva sulla carica $q$ vale:

$F=q{E}_x=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_o}\frac{pq}{(d{)}^3}=121nN$

b)

Il campo generato lungo l'asse delle x per $x\le 0$ vale:

$E_{xt}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_o}\frac{q}{x^2}+\frac{1}{2\pi {\epsilon }_o}\frac{p}{(d-x{)}^3}$

Quindi se $x=2/3d=6.7mm$:

$E_{xt}=3\cdot 10^{4}V/m$

c)

La differenza di potenziale dovuta alla carica vale:

$D{V}_q=-\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o}\underset{0.2d}{\overset{0.8d}{\int }}\frac{1}{x^2}dx=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_o}{\left[\frac{1}{x}\right]}_{0.8d}^{0.2d}=337V$

La differenza di potenziale dovuta al dipolo vale:

$D{V}_p=-\frac{p}{2\pi {\epsilon }_o}\underset{0.2d}{\overset{0.8d}{\int }}\frac{1}{(d-x{)}^3}dx$

Facendo un cambio di variabile $y=d-x$:

$D{V}_p=\frac{p}{2\pi {\epsilon }_o}\underset{0.8d}{\overset{0.2d}{\int }}\frac{1}{y^3}dy=\frac{p}{2\pi {\epsilon }_o}{[-\frac{1}{2y^2}]}_{0.8d}^{0.2d}=42V$

Quindi in totale:

$DV=D{V}_q+D{V}_p=379V$