Esercizi di fisica con soluzioni/Il II principio della termodinamica

Esercizi

1. Ciclo frigorifero

$n=2.1moli$ moli di un gas ideale biatomico (aria) descrivono il seguente ciclo frigorifero (mostrato in figura): dallo stato iniziale $A$ allo stato $B$ dalla temperatura massima $T_2=320K$, viene eseguita una trasformazione isobara, $p_A=3\cdot 10^{5}Pa$, per punti di equilibrio fino a raggiungere la temperatura $T_1=270K$. A questo punto una trasformazione isoterma reversibile raddoppia il volume $V_A$ iniziale del gas. Poi una isocora, per stati di equilibrio, riporta il gas alla temperatura iniziale. Ed infine una isoterma reversibile riporta il sistema nello stato $A$. Il ciclo avviene con due sole sorgenti di calore a temperatura $T_1$ e $T_2$.

Determinare: a) Il volume in $B$; b) il lavoro necessario per compiere un ciclo; c) i calori scambiati con le sorgenti in un ciclo . d) Dimostrare se il sistema termodinamico descritto è reversibile o irreversibile dal calcolo della variazione di entropia dell'universo in un ciclo .

2. Adiabatica e isocora irreversibile

Una macchina termica lavora utilizzando solo due sorgenti alle temperature $T_2=400K$ e $T_1=300K$ con $n=10moli$ di gas perfetto monoatomico compiendo le seguenti trasformazioni: $AB$, espansione isoterma (dalla temperatura maggiore) reversibile da $V_A=2d{m}^3$ a $V_B=30d{m}^3$; $BC$, raffreddamento isocoro irreversibile a contatto della sorgente a temperatura $T_1$; $CD$, compressione isoterma reversibile fino al volume $V_A$; $DA$, trasformazione irreversibile adiabatica e isocora nel senso che riporta il gas al volume iniziale $V_A$ e alla temperatura $T_2$, ottenuta fornendo dall'esterno lavoro al sistema.

Si chiede di: a) calcolare il lavoro da fornire nella trasformazione DA per chiudere il ciclo; b) calcolare il lavoro totale eseguito al gas e il suo rendimento confrontandolo con quello del ciclo di Carnot che lavora con le medesime sorgenti; c) calcolare la variazione di entropia dell'universo termodinamico.

3. Isocora e isobara irreversibile

$n=1.5moli$ di un gas ideale con calore specifico molare $c_v=5/2R$, tramite l’utilizzo di due sorgenti a temperature $T_2=400K$ e $T_1=300K$, viene sottoposto al ciclo illustrato in figura. La trasformazione AB è una isoterma reversibile a temperatura $T_2$, BC è un’isocora irreversibile eseguita a contatto con la sorgente $T_1$, CD è una isobara irreversibile solo in quanto eseguita con la stessa sorgente fino ad ottenere una temperatura del gas uguale a $T_1$ in D. DA è una adiabatica reversibile. Sapendo che $V_1=1\cdot 10^{-3}{m}^3$, $V_3=2.2\cdot 10^{-3}{m}^3$ si calcoli: a) il volume in D ($V_2$); b) la temperatura del gas in C; c) il lavoro fatto in un ciclo; d) la variazione di entropia dell'universo termodinamico in un ciclo .

4. Ciclo di Stirling

Un ciclo di Stirling consiste di due isoterme a temperatura $T_1$ e $T_2$, e due isocore una a volume $V_A$ e l'altra a volume $V_B$. Il ciclo viene eseguito da $n$ moli di un gas monoatomico con quindi capacità molare a volume costante pari a $c_v=3/2R$. Immaginando che il ciclo venga percorso mediante stati di equilibrio termodinamico ed in particolare che le due isoterme siano reversibili.

Determinare la variazione di entropia del ciclo:

a) Nel caso che le isocore siano reversibili.

b) Nel caso che vi siano due sole sorgenti di temperatura.

c) Nel caso vi sia una altra sorgente di temperatura a temperatura intermedia tra $T_1$ e $T_2$.

d) Nel caso che anche le isoterme siano irreversibili per cui il lavoro prodotto nella espansione isoterma venga tutto praticamente dissipato in attrito e che sia necessario un lavoro doppio per comprimere il gas nella fase di compressione isoterma, per vincere la forza di attrito.

(dati del problema $T_1=310K$, $T_2=500K$, $V_A=0.002m^3$, $V_B=0.004m^3$, $n=0.035$)

5. Sorgente termica finita

Una macchina reversibile lavora tra una sorgente a temperatura $T_1$ ed una sorgente di capacità termica finita $C$ (che non dipende dalla temperatura) che inizialmente si trova ad una temperatura $T_2$.

a) Immaginiamo di fare eseguire delle trasformazioni che producono lavoro via via abbassando la temperatura della sorgente. Quale è il massimo lavoro che si riesce a produrre?

b) Se anche la sorgente $T_1$ avesse la stessa capacità termica quale sarebbe il massimo lavoro che si può produrre?

($T_1=1{}^{o}C$, $T_2=99{}^{o}C$, $C=10000J/K$)

6. Ferro e acqua

Sia dato un recipiente isolato contenente dell'acqua a temperatura $T_1$ di capacità termica $C_a$, in tale recipiente si immerge un pezzo di ferro di capacità termica $C_f$ a temperatura $T_2$.

Determinare di quanto aumenta l'entropia del sistema quando raggiunge l'equilibrio termodinamico.

(Dati: $T_1=293K$, $T_2=373K$, $C_a=5434J/K$, $C_f=435J/K$)

7. Macchina ideale

Una macchina termica lavora tra una sorgente di calore a $T_2$ ed una a temperatura $T_1$ (non data) ed ha il rendimento massimo possibile di ${\eta }_0$. Come deve cambiare la temperatura della sorgente a temperatura maggiore per avere un rendimento ${\eta }_1$, sempre in condizioni di ciclo ideale?

(dati del problema $T_2=550{}^{o}C$, ${\eta }_0=0.3$, ${\eta }_1=0.39$)

8. Turbina a due stadi

In una turbina a due stadi, pensata come una macchina termica, il vapore entra ad una temperatura $T_3$ e ne esce con temperatura $T_2$ producendo un lavoro $W_1$ ad ogni ciclo completo, il vapore espulso entra immediatamente nel secondo stadio e ne esce con una temperatura $T_1$. I due stadi sono delle macchine reversibili.

Determinare:

a) I calori scambiati ad ogni ciclo con le temperature estreme (in realtà è un sistema aperto ma il gas che entra ed esce può considerarsi come una sorgente di calore).

b) Il lavoro prodotto dal II stadio in un ciclo.

c) Il rendimento totale.

(dati del problema: $T_1=300K$, $T_2=600K$, $T_3=1400K$, $W_1=1000J$, il calore ceduto è eguale a quello assorbito in ogni ciclo dalla sorgente a temperatura $T_2$)

9. Ciclo di Carnot in Antartide

Se venisse fatta una macchina termica ideale di Carnot che utilizzasse come sorgente fredda il ghiaccio al punto di fusione $T_1$ (con calore latente di fusione $\lambda$) e come sorgente calda l'oceano alla sua temperatura media $T_2$. Quale sarebbe la quantità di ghiaccio che si scioglierebbe in un'ora per produrre una potenza di $P_o$?

(dati del problema $T_1=0{}^{o}C$, $T_2=4{}^{o}C$, $\lambda =3.3\cdot 10^{5}J/kg$, $P_o=1GW$)

10. Fabbricatore di ghiaccio

Una macchina fabbricatrice di ghiaccio produce $m$ kg di ghiaccio all'ora a partire da acqua a temperatura $T_2$.

Determinare la quantità di calore assorbita in un'ora (il ghiaccio che si forma si trova a $T_1$) e quale sia la minima potenza assorbibile da una macchina frigorifera per produrre tale quantità di ghiaccio?

(dati del problema: $T_2=315K$, $T_1=273K$, $m=2kg$, calore latente di fusione del ghiaccio $\lambda =3.3\cdot 10^{5}J/kg$, il calore specifico dell'acqua, costante in tale intervallo di temperatura si ricava dalla definizione di equivalente meccanico della caloria)

11. Condizionatore ideale

Un condizionatore d'aria lavora assorbendo la potenza termica $P_1$. Supponendo che il coefficiente di prestazione (COP) del condizionatore sia quello di una macchina di Carnot e che la temperatura dell'esterno sia $T_2$ e che l'ambiente venga mantenuto a $T_1$. Determinare il consumo di potenza elettrica.

(dati del problema $T_1=17{}^{o}C$, $T_2=46{}^{o}C$, $P_1=10^{7}J/ora$)

12. Pompa di calore

Una pompa di calore, è fatta funzionare con due isoterme e due isocore. Tale ciclo, irreversibile, per stati di equilibrio termodinamico avviene tra due sole sorgenti di calore a temperatura $T_1=20{}^{o}C$ e $T_2=55{}^{o}C$. Questo significa che lungo le isocora AB il gas cede calore alla sorgente a temperatura minore $T_1$ e lungo l'isocora CD assorbe calore dalla sorgente a temperatura maggiore $T_2$. Il ciclo è percorso in senso antiorario.

Una macchina siffatta viene detta una pompa di calore in quanto il lavoro $W=-400J$ assorbito in un ciclo serve a mantenere dell'acqua calda alla temperatura $T_2$ (la sorgente a temperatura maggiore), mentre la sorgente a temperatura inferiore ($T_1$) è l'ambiente. Immaginando che le trasformazioni isoterme vengano percorse in maniera reversibile da un gas perfetto biatomico ($c_v=\frac{5}{2}R$) con un rapporto tra i volumi massimo e minimo di $V_D/V_A=2$, determinare:

a) il numero di moli del gas; b) il calore scambiato con la sorgente $T_2$ in un ciclo; c) la variazione di entropia dell'universo termodinamico in un ciclo.

13. Ciclo di Otto

Un ciclo Otto è costituito dal ciclo schematizzato in figura. Il tratto EA è l'immissione della miscela e non interessa ai fini del presente problema. AB è una compressione adiabatica fino al volume in cui viene fatta esplodere la miscela. BC rappresenta la conseguente trasformazione isocora che porta la miscela alla massima pressione e temperatura. La trasformazione CD è una espansione adiabatica. Infine il gas ritorna alla condizione iniziale A mediante una trasformazione isocora ( e viene espulso in AE).

Il ciclo è percorso per stati di equilibrio termodinamico. Se il rapporto di compressione vale $V_A/V_B=6$ e inoltre $\gamma =1.3$, $T_A=300K$ e $T_C=1200K$.

Determinare: a) $T_B$; b) $T_D$; c) il rendimento del ciclo; d) il rendimento del ciclo ideale tra le stesse temperature estreme .

14. Ciclo con isocora irreversibile

$n=1.2moli$ di un gas ideale monoatomico, tramite l’utilizzo di due sorgenti a temperature $T_A=600K$ e $T_C=300K$, viene sottoposto al ciclo illustrato in figura. La trasformazione AB è una isoterma reversibile a temperatura $T_A$, BC è un’isocora irreversibile (ma con lavoro nullo) eseguita ponendo il gas a contatto con la sorgente $T_C$, CA è una adiabatica reversibile. Sapendo che $P_A=8\cdot 10^{5}Pa$, si calcoli: a) il volume in C ($V_C$); b) il lavoro fatto in un ciclo; c) il rendimento del ciclo; d) la variazione di entropia dell'universo termodinamico in un ciclo.

15. Isocore e isobare

Una macchina termica lavora con $n=2.3moli$ moli di un gas perfetto biatomico. Il ciclo è irreversibile in quanto le trasformazioni avvengono a contatto con sorgenti aventi temperatura costante in ognuna delle trasformazioni. Tuttavia, le trasformazioni avvengono per un continuo di stati di equilibrio termodinamico (in modo quasi statico), in modo tale che il ciclo sia rappresentabile nel piano di Clapeyron ($p,V$) con un rettangolo di vertici ABCD avente i lati paralleli agli assi coordinati. La trasformazione da A a B, si svolge a pressione costante, e la temperatura varia da $T_A=400K$ a $T_B=500K$. Nella trasformazione da B a C, che si svolge a volume costante, il gas ritorna alla stessa temperatura iniziale $T_C=T_A$, ma ad una diversa pressione $p_C=1.2\times 10^{5}Pa$.

Una isobara porta il sistema alla temperatura più bassa $T_D$. La macchina lavora tra tre sorgenti di calore a temperatura $T_A$ ($D\to A$, $B\to C$), $T_B$ ($A\to B$) e $T_D$ ($C\to D$). Si ricorda che il rendimento è lavoro compiuto diviso la somma del calore ceduto da tutte le sorgenti da cui il sistema assorbe calore. Determinare: a) La temperatura più bassa $T_D$; b) il lavoro eseguito in un ciclo; c) Il rendimento del ciclo; d) L'aumento di entropia dell'universo termodinamico in un ciclo.

16. Macchina irreversibile

Una macchina, irreversibile, lavora tra $T_1=20{}^{o}C$ e $T_2=300{}^{o}C$, ed ha un rendimento che è 1/4 della macchina reversibile operante tra le stesse temperature. La macchina compie un ciclo in un tempo $t_1=2s$.

La potenza termica dissipata nella sorgente più fredda vale $P_1=-1100W$. Determinare: a) la potenza meccanica sviluppata; b) la variazione di entropia dell'universo in una giornata di funzionamento continuo.

17. Corda elastica

Una corda elastica ha la seguente equazione di stato, tra tensione ($𝒯$) e lunghezza ($\ell$)

$𝒯=aT(\ell -{\ell }_0){\ell }_0\le \ell \le {\ell }_1$

con ${\ell }_0=10cm$ è la lunghezza a riposo ed $a=20N/(K\cdot m)$. La capacità termica è costante e vale $C_e=2J/K$. La corda viene portata dalla lunghezza ${\ell }_1=20cm$ a ${\ell }_2=30cm$ a temperatura costante $T_1=300K$, a questo punto lasciando immutata la lunghezza viene scaldato e portato ad una temperatura di $T_2=360K$, a temperatura costante viene riportato alla lunghezza originaria ( ${\ell }_1=20cm$) e infine raffreddandolo ritorna nelle condizioni di partenza. Le trasformazioni isoterme sono reversibili, mentre le altre due trasformazioni sono irreversibili in quanto si hanno solo due sorgenti di calore che permettono di compiere il ciclo. Determinare a) il calore complessivamente assorbito nel ciclo; b) il rendimento del ciclo; c) la variazione di entropia dell'universo termodinamico in un ciclo.

18. Ciclo irreversibile

$n=2$ moli di un gas ideale monoatomico eseguono la trasformazione ciclica ABC mostrata nella figura: la trasformazione avviene con due sole sorgenti la più alta a $T_A=350^{o}C$ con volume $V_A=5litri$ e la più bassa a $T_C=25{}^{o}C$. La trasformazione AB è una adiabatica reversibile, la BC una isobara irreversibile ma per stati di equilibrio termodinamico (viene eseguita ponendo il gas a contatto con la sorgente a temperatura $T_C$). Infine il gas mediante una isocora CA (anch'essa irreversibile, ma per stati di equilibrio termodinamico) viene riportato alla temperatura $T_A$.

Determinare: a) il volume $V_B$ e la temperatura $T_B$; b) il lavoro totale eseguito durante il ciclo termodinamico; c)il rendimento della macchina termica, confrontandolo con quello della macchina reversibile che opera tra le stesse temperature; d) la variazione di entropia nell'universo termodinamico in un ciclo.

19. Espansione libera

Un recipiente cilindrico di $V=10litri$, è diviso in due parti eguali da un pistone di massa trascurabile. Il primo lato ha $n_1=2.5mol$ di un gas perfetto, mentre nell'altro sono contenute $n_2=n_1/10$ dello stesso gas. Il sistema è a temperatura $T=300K$. Se viene sbloccato il pistone in maniera irreversibile si ha una nuova situazione di equilibrio. Notare che lo stato di equilibrio viene prodotto da un processo irreversibile senza generare alcun lavoro e senza che la temperatura cambi. Determinare: a) il volume finale dei due scomparti; b)la pressione finale del gas nei due contenitori; c) la variazione di entropia del sistema.

20. Pompa di calore

Una pompa di calore è utilizzata per scaldare dell'acqua da $T_1$ (temperatura ambiente) a $T_2$. La potenza meccanica utilizzata è $P$ e vengono prodotti $l_o$ litri di acqua calda la minuto. Determinare a) il coefficiente di prestazione cioè il rapporto tra il calore fornito alla sorgente più calda e il lavoro impiegato; b) la potenza assorbita da temperatura ambiente. c) quanti litri al minuto di acqua calda si potrebbero fare con la stessa potenza motrice se fosse una pompa di calore ideale .

(Dati del problema $T_1=20{}^{o}C$, $T_2=60{}^{o}C$, $P=1200W$, $l_o=1.2$ litri)

Per calcolare il calore specifico si può usare l'equivalente meccanico della caloria, immaginando che sia costante il calore specifico dell'acqua.

21. Una trasformazione irreversibile

Una mole di gas ideale monoatomico inizialmente alla temperatura $T_0$ è contenuta in un cilindro di volume $V_0$ e subisce una compressione adiabatica reversibile da portarlo a un volume finale $V_f=V_0/3$ e a una temperatura finale $T_f$. In queste condizioni, il gas è posto a contatto con una sorgente alla temperatura $T_0$ alla quale si riporta mantenendo costante il volume del gas $V_f$. Si calcoli:

a) La temperatura $T_f$ del gas e il lavoro da esso subito durante la compressione adiabatica reversibile;

b) La variazione totale di energia interna del gas;

c) La variazione di entropia dell’universo termodinamico.

(Dati del problema: $T_0=300K$)

Soluzioni

1. Ciclo frigorifero

a) Dai dati del problema, nello stato $A$ il volume sarà:

$V_A=\frac{nR{T}_2}{p_A}=0.0186m^3$

Dai dati del problema, nello stato $B$ il volume sarà:

$V_B=V_A\frac{T_1}{T_2}=0.0157m^3$

Mentre in $C$ il volume sarà:

$V_C=2V_A=0.0372m^3$

b) Da $A->B$ il lavoro subito vale:

$W_{AB}=p_A(V_B-V_A)=-873J$

Da $B->C$ il lavoro fatto vale:

$W_{BC}=nR{T}_1\ln \frac{V_C}{V_B}=4.068kJ$

Da $D->A$ ( nella isocora non viene fatto lavoro) il lavoro assorbito vale:

$W_{DA}=nR{T}_2\ln \frac{V_A}{V_D}=-3.87kJ$

In totale la macchina frigorifera assorbe in un ciclo il lavoro:

$W=W_{AB}+W_{BC}+W_{DA}=-677J$

c)

I calori scambiati con la sorgente più fredda in ogni ciclo:

$Q_{AB}=n\frac{7}{2}R(T_1-T_2)=-3.06kJ$

$Q_{BC}=W_{BC}=4.068kJ$

in totale, dalla sorgente $T_1$ viene assorbita la quantità di calore:

$Q_1=Q_{AB}+Q_{BC}=1.013kJ$

I calori scambiati con la sorgente $T_2$:

$Q_{CD}=n\frac{5}{2}R(T_2-T_1)=2182J$

$Q_{DA}=W_{DA}=-3.87kJ$

in totale, dalla sorgente $T_2$ viene ceduta la quantità di calore:

$Q_2=Q_{CD}+Q_{DA}=-1.69kJ$

d)

Quindi la variazione di entropia dell'universo in un ciclo (il gas che compie il ciclo non varia la sua entropia in un ciclo per definizione di ciclo) vale:

$\mathrm{\Delta }S=-\frac{Q_1}{T_1}-\frac{Q_2}{T_2}=1.53J/K$

Quindi il ciclo è irreversibile.

2. Adiabatica e isocora irreversibile

a) Essendo la trasformazione DA una adiabatica, è possibile calcolare il lavoro da fornire alla macchina per chiudere il ciclo utilizzando la variazione di energia interna del gas (cambiata di segno) che è una funzione di stato:

$W_{DA}=n{c}_v(T_1-T_2)=\frac{3}{2}nR(T_1-T_2)=-12.47kJ$

b) Il lavoro fatto nella trasformazione AB:

$W_{AB}=nR{T}_2\ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right)=90kJ$

Nella trasformazione CD:

$W_{CD}=nR{T}_1\ln \left(\frac{V_A}{V_B}\right)=-68kJ$

Il lavoro totale è, pertanto, la somma di quello positivo nella trasformazione AB, e di quelli negativi delle due trasformazioni CD e DA:

$W_{tot}=W_{AB}+W_{CD}+W_{DA}=10.04kJ$

Nella isoterma AB:

$Q_{AB}=W_{AB}$

Dato che il solo calore assorbito dal gas è quello fornito nella sola trasformazione AB, il rendimento della macchina vale:

$\eta =\frac{W_{tot}}{Q_{AB}}=0.11$

Quello della macchina reversibile di Carnot vale, invece:

$\eta =1-\frac{T_1}{T_2}=0.25$

c)

Il calore assorbito nella isoterma CD vale:

$Q_{CD}=W_{CD}$

Mentre nella isocora irreversibile BC la quantità di calore scambiato è uguale alla variazione di energia interna del gas:

$Q_{BC}=n{c}_v(T_1-T_2)=-12.4kJ$

Per trovare la variazione di entropia dell’universo termodinamico basta considerare che, essendo nulla la variazione dell'entropia nel ciclo termodinamico, l'unica variazione è quella delle sorgenti:

$\mathrm{\Delta }{S}_u=-\mathrm{\Delta }{S}_{Sorgenti}=-[\frac{Q_{AB}}{T_2}+\frac{Q_{BC}}{T_1}+\frac{Q_{CD}}{T_1}]=41.6J/K$

3. Isocora e isobara irreversibile

a)

Dalla relazione di Mayer: $c_p=c_v+R=7R/2$ quindi $\gamma =c_p/c_v=1.4$.

Nella trasformazione adiabatica:

$T_2{V}_1^{\gamma -1}=T_1{V}_2^{\gamma -1}$

$V_2=V_1{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{1/(\gamma -1)}=2.1\cdot 10^{-3}{m}^3$

b)

In D:

$p_1=\frac{nR{T}_1}{V_2}=1.82\cdot 10^{6}Pa$

Quindi:

$T_C=\frac{p_1{V}_3}{nR}=321.5K$

c)

$W_{AB}=nR{T}_2\log \frac{V_3}{V_1}=3.93\cdot 10^{3}J$

$W_{CD}=p_1(V_2-V_3)=-182J$

Nella adiabatica reversibile:

$W_{DA}=-\mathrm{\Delta }{U}_{DA}=-n{c}_v(T_2-T_1)=-3.12\cdot 10^{3}J$

In totale:

$W=W_{AB}+W_{CD}+W_{DA}=633J$

d)

Il calore assorbito nella isoterma:

$Q_{AB}=W_{AB}=3.93\cdot 10^{3}J$

Il calore assorbito nella isocora:

$Q_{BC}=n{c}_v(T_C-T_2)=-2.45\cdot 10^{3}J$

Il calore assorbito nella isobara:

$Q_{CD}=n{c}_p(T_1-T_C)=-939J$

La variazione di entropia dell’universo è data dal contributo delle sole sorgenti, in quanto il sistema compie un ciclo e quindi la sua variazione di entropia è nulla:

$\mathrm{\Delta }{S}_u=-(\frac{Q_{AB}}{T_2}+\frac{Q_{BC}+Q_{CD}}{T_1})=1.45J/K$

4. Ciclo di Stirling

Detti $A$ e $B$ gli estremi della isoterma superiore, e $C$ e $D$ quelli della isoterma inferiore per le isocore vale: $V_A=V_D$, $V_B=V_C$ quindi:

$\frac{V_B}{V_A}=\frac{V_C}{V_D}$

Il calore assorbito durante l'isoterma a temperatura più alta vale (i calori vengono calcolati dal punto di vista della macchina termica):

$Q_{AB}=nR{T}_2\ln \frac{V_B}{V_A}=100J$

Il calore ceduto durante l'isoterma a temperatura più bassa vale:

$Q_{CD}=nR{T}_1\ln \frac{V_D}{V_C}=-nR{T}_1\ln \frac{V_B}{V_A}=-62J$

a)

Nel primo caso il calore fornito dalla sorgente a temperatura più alta è solo $-Q_{AB}$. Vi debbono essere un numero infinito di sorgenti tra temperatura $T_1$ e $T_2$ le quali forniscono calore nella isocora in salita ed assorbono la stessa quantità di calore nella isocora in discesa: quindi la loro variazione di entropia è nulla. Quindi:

$\mathrm{\Delta }{S}_a=-\frac{Q_{AB}}{T_2}-\frac{Q_{CD}}{T_1}=0$

Come è ovvio essendo il ciclo reversibile.

b)

Nel secondo caso la sorgente a temperatura maggiore deve fornire anche il calore:

$Q_{DA}=n{c}_v(T_2-T_1)=87J$

e quella a temperatura inferiore:

$Q_{BC}=n{c}_v(T_1-T_2)=-87J$

$\mathrm{\Delta }{S}_b=-\frac{Q_{AB}}{T_2}-\frac{Q_{DA}}{T_2}-\frac{Q_{CD}}{T_1}-\frac{Q_{BC}}{T_1}=\frac{n{c}_v(T_1-T_2)}{T_2}+\frac{n{c}_v(T_2-T_1)}{T_1}=0.116J/K$

c)

Nel terzo caso essendovi una sorgente a temperatura intermedia:

$T_3=\frac{T_1+T_2}{2}=405K$

Che assorbe e cede la stessa quantità di calore quindi la sua entropia non varia. La sorgente a temperatura più alta fornisce una quantità di calore inferiore rispetto al caso b) in quanto deve portare il gas solo da $T_3$ a $T_2$. Quindi la variazione di entropia è:

$\mathrm{\Delta }{S}_c=-\frac{n{c}_v(T_3-T_2)}{T_2}-\frac{n{c}_v(T_3-T_1)}{T_1}=0.058J/K$

d)

Nel quarto caso, il lavoro prodotto nella isoterma superiore viene dissipato per attrito e inoltre nella compressione metà del lavoro ($-Q_{BC}$) viene dissipato per attrito in questo caso:

$\mathrm{\Delta }{S}_d=\mathrm{\Delta }{S}_b+\frac{Q_{AB}}{T_2}-\frac{Q_{CD}}{T_1}=0.44J/K$

5. Sorgente termica finita

a)

La trasformazione che produce la massima quantità di lavoro è quella che non varia l'entropia dell'universo termodinamico.

Il calore necessario per portare il corpo di capacità termica limitata da temperatura $T_2=372K$ a $T_1=274K$ è:

$Q_2=C(T_2-T_1)=980kJ$

Il segno è scelto in maniera da essere positivo come quello da utilizzare con una ipotetica macchina termica. Nel diminuire la temperatura della sorgente di capacità termica finita viene diminuita la sua entropia di:

$dS=C\frac{dT}{T}$

Quindi in totale:

$\mathrm{\Delta }{S}_2=C\ln \frac{T_1}{T_2}$

Perché l'entropia dell'universo non cambi occorre che:

$\mathrm{\Delta }{S}_1+\mathrm{\Delta }{S}_2=0$

Essendo:

$\mathrm{\Delta }{S}_1=-\frac{Q_1}{T_1}$

quindi:

$Q_1=C{T}_1\ln \frac{T_1}{T_2}=-838kJ$

Quindi il lavoro massimo producibile vale:

$W=Q_2+Q_1=142kJ$

Si poteva anche dire che se $T$ è la temperatura istantanea della sorgente finita inizialmente alla temperatura $T_2$ essa alla fine dei cicli si porterà alla temperatura $T_1$. Nel ciclo infinitesimo la temperatura della sorgente più alta diminuirà di $dT$ e fornirà un calore pari a :

$d{Q}_2=-CdT$

Se agisce una macchina reversibile tra la temperatura istantanea $T$ e la sorgente a $T_1$, il lavoro infinitesimo prodotto in un ciclo vale:

$dW=-(1-\frac{T_1}{T})dQ=-(1-\frac{T_1}{T})CdT$

Quindi:

$W=-C\underset{T_2}{\overset{T_1}{\int }}(1-\frac{T_1}{T})dT=C[(T_2-T_1)-T_1\ln \frac{T_2}{T_1}]=142kJ$

b)

Nel secondo caso debbo imporre che:

$C\ln \frac{T_e}{T_2}+C\ln \frac{T_e}{T_1}=0$

Quindi, la temperatura di equilibrio finale, vale:

$T_e^2=T_1{T}_2$

$T_e=319K$

Quindi:

$Q_2=C(T_2-T_e)=530kJ$

e

$Q_1=C(T_1-T_e)=-450kJ$

Quindi:

$W=Q_1+Q_2=80kJ$

6. Ferro e acqua

La temperatura di equilibrio vale:

$T_e=\frac{C_a{T}_1+C_f{T}_2}{C_a+C_f}=299K$

quindi mentre l'entropia del ferro diminuisce:

$\mathrm{\Delta }{S}_f=\underset{T_2}{\overset{T_e}{\int }}\frac{C_{f}dT}{T}=C_f\ln \frac{T_e}{T_2}=-96J/K$

Quella dell'acqua aumenta:

$\mathrm{\Delta }{S}_a=\underset{T_1}{\overset{T_e}{\int }}\frac{C_{a}dT}{T}=C_a\ln \frac{T_e}{T_1}=110J/K$

quindi:

$\mathrm{\Delta }S=\mathrm{\Delta }{S}_f+\mathrm{\Delta }{S}_a=14J/K$

7. Macchina ideale

Esprimiamo la temperatura $T_2$ in $K$:

$T_2=550+273=823K$

Essendo un ciclo ideale:

${\eta }_o=1-\frac{T_1}{T_2}$

$\frac{T_1}{T_2}=1-{\eta }_0$

Mentre, detta $T_x$ la temperatura incognita:

${\eta }_1=1-\frac{T_1}{T_x}$

$\frac{T_1}{T_x}=1-{\eta }_1$

Dividendo:

$T_x=T_2\frac{1-{\eta }_0}{1-{\eta }_1}=944K=671{}^{o}C$

8. Turbina a due stadi

a)

Essendo reversibili i due stadi:

${\eta }_1=1-\frac{T_2}{T_3}=0.57$

Quindi, in un ciclo:

$Q_3=\frac{W_1}{{\eta }_1}=1754J$

Dal I principio della termodinamica:

$Q_2=Q_3-W_1=-754J$

Tale calore è eguale in modulo per il secondo stadio, che essendo reversibile:

$Q_1=-\frac{T_1}{T_2}|Q_2|=-377J$

b)

Il lavoro prodotto dal II stadio vale:

$W_2=|Q_2|-Q_1=377J$

c)

Il rendimento globale vale:

${\eta }_t=\frac{W_1+W_2}{Q_3}=0.785=1-\frac{T_1}{T_3}$

9. Ciclo di Carnot in Antartide

Il rendimento massimo possibile vale:

$\eta =1-\frac{T_1}{T_2}=0.014$

Questo vuol dire che dato che in un'ora:

$W=P_o\times 3600=3.6\cdot 10^{12}J$

$Q_A=\frac{W}{\eta }=2.6\cdot 10^{14}J$

$Q_C=W-Q_A=(1-\frac{1}{\eta })W$

Se divido per $\lambda$:

$m_g=\frac{-Q_C}{\lambda }=\frac{(1/\eta -1)W}{\lambda }=7.7\cdot 10^{8}kg$

10. Fabbricatore di ghiaccio

Il calore specifico dell'acqua viene dalla definizione di equivalente meccanico della caloria:

$c_a=4180J/Kkg$

Quindi il calore assorbito dalla sorgente fredda vale in un'ora:

$Q_1=\lambda m+m{c}_a(T_2-T_1)=10^{6}J$

Se avessi una macchina ideale frigorifera operante tra $T_1$ e $T_2$ il lavoro minimo per produrre tale quantità di ghiaccio in un'ora sarebbe:

$W=-Q_1\frac{T_2-T_1}{T_1}=-1.6\cdot 10^{5}J$

Il calore ceduto alla sorgente più calda in un'ora:

$Q_2=W-Q_1=-1.17\cdot 10^{6}J$

Quindi la potenza assorbita sarebbe (dividendo il lavoro per il tempo in secondi):

$P=W/3600=43W$

Ma non è questa la quantità minima di lavoro, infatti l'entropia dell'universo termodinamico (sorgente e macchina fabbricatrice di ghiaccio) in tale processo aumenta.

Il calore $Q_1$ assorbito dalla sorgente a temperatura bassa serve in realtà a portare l'acqua da temperatura $T_2$ a $T_1$ e tale quantità non cambia qualsiasi processo facciamo se vogliamo produrre $m$ kg di ghiaccio all'ora. Quindi nel processo 2 kg di acqua si trasformano in ghiaccio e in un'ora tale quantità di acqua diminuisce la sua entropia di:

$\mathrm{\Delta }{S}_a=m{c}_a\ln \frac{T_1}{T_2}-\frac{m\lambda }{T_1}=-3610J/K$

mentre la sorgente a temperatura maggiore aumenta l'entropia di:

$\mathrm{\Delta }{S}_s=-\frac{Q_2}{T_2}=3700J/K$

Quindi $Q_2$ può essere inferiore del valore trovato, dovrebbe essere in un'ora:

$Q{\text{'}}_2=-\mathrm{\Delta }{S}_a{T}_2=-1.14\cdot 10^{6}J$

$W^{\prime }=Q_2+Q_1=-1.27\cdot 10^{5}J$

quindi la potenza minima è:

$P^{\prime }=W^{\prime }/3600=35W$

11. Condizionatore ideale

Il COP di una macchina frigorifera ideale vale:

$COP=\frac{Q_1}{W}=\frac{T_1}{T_2-T_1}=10$

Quindi:

$W=\frac{Q_1}{COP}$

La potenza elettrica vale:

$P_e=\frac{P_1}{COP}=\frac{10^7}{3600\cdot 10}=278W$

12. Pompa di calore

a)

Il lavoro viene fatto durante le due isoterme e vale:

$W=nR{T}_2\ln \frac{V_A}{V_D}+nR{T}_1\ln \frac{V_D}{V_A}$

Quindi:

$n=\frac{W}{R\ln V_D/V_A(T_1-T_2)}=2moli$

b)

Alla sorgente a temperatura maggiore viene ceduto del calore durante la trasformazione isoterma $DA$ ($T_2=328.15K$):

$Q_{DA}=nR{T}_2\ln \frac{V_A}{V_D}=-3750J$

ed assorbito durante la isocora $CD$:

$Q_{CD}=\frac{5}{2}nR(T_2-T_1)=1443J$

Quindi in totale scambiato :

$Q_2=Q_{DA}+Q_{CD}=-2307J$

Essendo negativo il totale vuol dire che il lavoro della macchina viene trasformato in calore che va nella sorgente a temperatura maggiore (cioè si fa acqua calda).

c)

$Q_1=W-Q_2=1910J$

Quindi la variazione di entropia ($T_1=293.15K$) in un ciclo è :

$\mathrm{\Delta }S=-\frac{Q_2}{T_2}-\frac{Q_1}{T_1}=0.52J/K$

13. Ciclo di Otto

a)

Nella I adiabatica:

$T_B{V}_B^{\gamma -1}=T_A{V}_A^{\gamma -1}$

da cui:

$T_B=T_A{\left(\frac{V_A}{V_B}\right)}^{\gamma -1}=513K$

b)

Mentre nella II adiabatica:

$T_C{V}_C^{\gamma -1}=T_D{V}_D^{\gamma -1}$

$T_D=T_C/{\left(\frac{V_A}{V_B}\right)}^{\gamma -1}=701K$

c)

Le uniche fasi in cui viene assorbito calore sono BC e invece il calore è ceduto nella fase DA. Quindi:

$\eta =1+\frac{Q_{DA}}{Q_{BC}}=1+\frac{n{c}_v(T_A-T_D)}{n{c}_v(T_C-T_B)}=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}=0.416$

d)

Che è minore del rendimento della trasformazione ideale:

${\eta }_i=1-\frac{T_A}{T_C}=0.75$

14. Ciclo con isocora irreversibile

a)

$V_A=\frac{nR{T}_A}{P_A}=0.0075m^3$

Essendo il gas monoatomico: $\gamma =1.67$ e $c_v=3/2R$.

Essendo la trasformazione CA adiabatica:

$T_A{V}_A^{\gamma -1}=T_C{V}_C^{\gamma -1}$

$V_C=V_A(T_A/T_C{)}^{1/(\gamma -1)}=0.0212m^3$

b)

Il lavoro fatto nella isoterma (che coincide con il calore assorbito), essendo $V_B=V_C\ </math> vale:

$Q_{AB}=W_{AB}=nR{T}_A\ln \frac{V_C}{V_A}=6194.8J$

Mentre il lavoro assorbito durante la compressione adiabatica è pari alla variazione di energia interna:

$W_{CA}=-n{c}_v(T_A-T_C)=-4491.72J$

Quindi in totale il lavoro fatto vale:

$W=W_{AB}+W_{CA}=1703.08J$

c)

Il rendimento è pari al rapporto tra il lavoro fatto ed il calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore:

$\eta =\frac{W}{Q_{AB}}=0.275$

d)

La variazione di entropia dell'universo termodinamico durante il ciclo è dovuta alla variazione due sorgenti di calore: Il calore ceduto durante la isocora vale:

$Q_{BC}=n{c}_v(T_C-T_A)=-4491.72J$

$\mathrm{\Delta }S=-(\frac{Q_{AB}}{T_A}+\frac{Q_{BC}}{T_C})=4.65J/K$

15. Isocore e isobare

a)

Dalla equazione di stato ai quattro estremi (ABCD):

$p_A{V}_A=nR{T}_A$

$p_A{V}_B=nR{T}_B$

$p_C{V}_B=nR{T}_A$

$p_C{V}_A=nR{T}_D$

Dividendo la prima per la seconda e la quarta per la terza:

$\frac{T_A}{T_B}=\frac{T_D}{T_A}$

$T_D=\frac{T_A^2}{T_B}=320K$

b)

Il volume alla temperatura $T_D$ vale;

$V_A=V_D=\frac{nR{T}_D}{P_D}=0.051m^3$

Quindi il massimo volume vale:

$V_C=V_B=1.3V_A=0.064m^3$

e la massima pressione:

$p_B=p_A=1.5\cdot 10^{5}Pa$

Quindi il lavoro fatto in un ciclo vale:

$W=(p_A-p_D)(V_C-V_A)=382J$

c)

$c_v=\frac{5}{2}R{c}_p=\frac{7}{2}R$

Calcoliamo il calore scambiato con ciascuna sorgente. La sorgente più calda cede calore alla macchina

$Q_{AB}=n{c}_p(T_B-T_A)=6690J$

La sorgente più fredda assorbe calore dalla macchina

$Q_{CD}=n{c}_p(T_D-T_C)=n{c}_p(T_D-T_A)=-5354J$

La sorgente intermedia scambia calore $Q_{BC}+Q_{DA}$ con

$Q_{BC}=n{c}_v(T_C-T_B)=n{c}_v(T_A-T_B)=-4780J$

$Q_{DA}=n{c}_v(T_A-T_D)=3824J$

la somma è negativa, ossia la sorgente intermedia riceve calore dalla macchina. In definitiva, la macchina assorbe calore soltanto dalla sorgente più calda

$Q_a=Q_{AB}=6693J$

Quindi:

$\eta =\frac{W}{Q_a}=0.057$

d)

La variazione di entropia nell'universo termodinamico vale:

$DS=-(\frac{Q_{AB}}{T_B}+\frac{Q_{BC}}{T_A}+\frac{Q_{CD}}{T_D}+\frac{Q_{DA}}{T_A})=5.74J/K$

16. Macchina irreversibile

a)

Il rendimento vale (esprimendo le temperature in $K$):

$\eta =\frac{1}{4}(1-\frac{T_1}{T_2})=0.122$

Il calore ceduto alla sorgente fredda in un ciclo vale:

$Q_1=P_1{t}_1=-2.2kJ$

Quindi essendo:

$\frac{Q_1+Q_2}{Q_2}=\eta$

$Q_2=\frac{Q_1}{\eta -1}=2.51kJ$

Quindi:

$W=Q_1+Q_2=306J$

$P=\frac{W}{t_1}=153W$

b)

In un giorno il numero di cicli è:

$n=\frac{24\times 3600}{t_1}=43200$

La variazione di entropia vale:

$\mathrm{\Delta }S=-\frac{Q_{1}n}{T_1}--\frac{Q_{2}n}{T_2}=1.35\times 10^{5}J/K$

17. Corda elastica

a)

Solo durante l'allungamento a temperatura $T_1=300K$ viene fatto sulla corda il lavoro:

$W_1=-\underset{{\ell }_1}{\overset{{\ell }_2}{\int }}a{T}_1(\ell -{\ell }_0)d\ell =-a{T}_1{[\frac{{\ell }^2}{2}-{\ell }_0\ell ]}_{{\ell }_1}^{{\ell }_2}=-90J$

Tale lavoro negativo corrisponde anche alla dissipazione del calore $Q{\text{'}}_1=W_1=-90J$ nella sorgente a temperatura minore. Mentre durante la contrazione, a temperatura $T_2=360K$, viene fornito dal sistema un lavoro pari a:

$W_2=-\underset{{\ell }_2}{\overset{{\ell }_1}{\int }}a{T}_2(\ell -{\ell }_0)d\ell =-a{T}_2{[\frac{{\ell }^2}{2}-{\ell }_0\ell ]}_{{\ell }_1}^{{\ell }_2}=108J$

Tale lavoro positivo viene fatto assorbendo del calore $Q{\text{'}}_2=W_2=108J$ dalla sorgente a temperatura maggiore. Quindi in totale viene fatto un lavoro di:

$W=W_1+W_2=18J$

e quindi, per il primo principio della termodinamica, viene assorbito un calore di:

$Q=18J$

b)

Il calore assorbito dalla sorgente maggiore è non solo $Q{\text{'}}_2$, ma anche:

$Q^{\prime }{\text{'}}_2=C_e(T_2-T_1)=120J$

Quindi il calore assorbito dalla sorgente a $T_2$ vale:

$Q_2=Q{\text{'}}_2+Q^{\prime }{\text{'}}_2=228J$

quindi il rendimento vale:

$\eta =\frac{W}{Q_2}=0.08$

circa la metà di quella del ciclo reversibile

${\eta }_r=1-\frac{T_1}{T_2}=0.166$

c)

Il calore ceduto alla sorgente a temperatura inferiore non è solo $Q{\text{'}}_1$ ma anche:

$Q^{\prime }{\text{'}}_1=C_e(T_1-T_2)=-120J$

Quindi:

$Q_1=Q{\text{'}}_1+Q^{\prime }{\text{'}}_1=-210J$

Per cui la variazione di entropia nell'universo termodinamico in un ciclo vale:

$\mathrm{\Delta }S=-(\frac{Q_1}{T_1}+\frac{Q_2}{T_2})=0.07J/K$

18. Ciclo irreversibile

a)

Dall'equazioni della termodinamica valide per una trasformazioni adiabatica si ha che:

$V_B=V_A(T_A/T_C{)}^{1/\gamma }=0.0078m^3$

$T_B=T_C(V_B/V_A)=464K$

b)

Il calore assorbito dalla sorgente $T_A$, nel passaggio di stato tra $T_C$ e $T_A$ vale:

$Q_{CA}=n\frac{3}{2}R(T_A-T_C)=8100J$

Mentre quello ceduto alla sorgente $T_C$ nel passaggio di stato tra $T_B$ e $T_C$ vale:

$Q_{BC}=n\frac{5}{2}R(T_C-T_B)=-6900J$

Quindi il lavoro fatto in un ciclo:

$W=Q_{CA}+Q_{BC}=1200J$

c)

Il rendimento vale:

$\eta =\frac{W}{Q_{CA}}=0.15$

Il rendimento di un ciclo reversibile operante tra le stesse temperature è:

${\eta }_R=1-\frac{T_C}{T_A}=0.52$

d)

La variazione di entropia nell'universo termodinamico in un ciclo vale:

$\mathrm{\Delta }S=-(\frac{Q_{CA}}{T_A}+\frac{Q_{BC}}{T_C})=10.1J/K$

19. Espansione libera

a)

Imponendo che la pressione finale sia eguale:

$\frac{n_{1}RT}{V_{1f}}=\frac{n_{2}RT}{V_{2f}}$

da cui:

$V_{2f}=\frac{n_2}{n_1}{V}_{1f}$

Ma anche:

$V_{1f}+V_{2f}=V$

da cui:

$V_{1f}=0.0091m^3$

$V_{2f}=0.0009m^3$

b)

Quindi:

$p_f=\frac{n_{1}RT}{V_{1f}}=6.9\cdot 10^{5}Pa$

c)

La trasformazione isoterma reversibile che porterebbe il gas dal volume $V/2$ a $V_{1f}$ assorbirebbe un calore $Q_1$

$d{Q}_1=n_{1}RT\frac{d{V}^{\prime }}{V^{\prime }}$

quindi un aumento di entropia di:

$D{S}_1=\underset{V/2}{\overset{V_{1f}}{\int }}\frac{d{Q}_1}{T}=n_{1}R\log \frac{V_{1f}}{V/2}=n_{1}R\log \frac{20}{11}=12.4J/K$

Mentre la trasformazione isoterma reversibile che porterebbe il gas dal volume $V/2$ a $V_{2f}$ cederebbe un calore $Q_2$

$d{Q}_2=n_{2}RT\frac{d{V}^{\prime }}{V^{\prime }}$

quindi con una diminuzione di entropia di:

$D{S}_2=\underset{V/2}{\overset{V_{2f}}{\int }}\frac{d{Q}_2}{T}=n_{2}R\log \frac{V_{2f}}{V/2}=n_{2}R\log \frac{2}{11}=-3.5J/K$

Quindi in totale l'entropia aumenta di:

$DS=D{S}_1+D{S}_2=8.9J/K$

20. Pompa di calore

a)

L'equivalente meccanico della caloria è:

$c_a=4174J/Cal$

Quindi la potenza termica da fornire all'acqua per portarla da $T_1$ a $T_2$ è:

$P_2=c_a{l}_o(T_2-T_1)/60=3348W$

Quindi il COP è:

$COP=\frac{P_2}{P}=2.79$

b)

La potenza assorbita da temperatura ambiente è per il I principio della termodinamica:

$P_1=P-P_2=-2148W$

c)

Se fosse una macchina ideale il suo coefficiente di prestazione sarebbe:

$CO{P}_i=\frac{T_2}{T_2-T_1}=8.3$

e quindi il numero di litri di acqua calda prodotta al minuto sarebbe

$l_i=l_o\frac{CO{P}_1}{COP}=3.6litri/minuto$

21. Una trasformazione irreversibile

a)

La temperatura alla quale si porta il gas al termine della compressione adiabatica si ricava da:

$T_0{V}_0^{\gamma -1}=T_f{V}_f^{\gamma -1}$

con $\gamma -1=0.66$ essendo il gas monoatomico. Quindi:

$T_f=T_0{\left(\frac{V_0}{V_f}\right)}^{\gamma -1}=624.5K$

Il lavoro eseguito sul gas per comprimerlo è:

$W_{AB}=-n{c}_v(T_f-T_0)=-n\frac{3}{2}R(T_f-T_0)=-4kJ$

b)

La variazione totale di energia interna del gas è nulla ritornando il gas alla stessa temperatura di partenza.

c)

Per il calcolo della variazione di entropia dell’universo termodinamico, bisogna tenere in conto quella relativa al gas e quella relativa alla sorgente di calore alla temperatura $T_0$. Per la prima, durante la isocora, si ha:

$\mathrm{\Delta }{S}_{gas}=n{c}_v\log \frac{T_0}{T_f}=-9.13J/K$

Mentre nella sorgente durante la trasformazione BC entra una quantità di calore pari a:

$Q_{BC}=n{c}_v(T_f-T_0)=4kJ$

Quindi:

$\mathrm{\Delta }{S}_{sorgente}=\frac{Q_{BC}}{T_0}=13.5J/K$

La variazione di entropia dell'universo termodinamico è:

$\mathrm{\Delta }{S}_U=\mathrm{\Delta }{S}_{gas}+\mathrm{\Delta }{S}_{sorgente}=4.34J/K$