Fisica classica/Campi elettromagnetici nei conduttori

Se si riscrivono le equazioni di Maxwell in presenza di conduttori reali bisogna tenere conto della legge di Ohm che stabilisce che :

$\overrightarrow{E}=\rho \overrightarrow{J}$

(1)

Questo implica che la IV equazione di Maxwell, aggiungendo la possibilità che vi sia una densità di corrente elettrica, diventa:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_o}{\rho }\overrightarrow{E}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

(2)

Da tale equazione, con passaggi simili a quelli fatti nel vuoto si ricavano, l'equazione delle onde, per il campo elettrico, con in più la presenza di un termine aggiuntivo:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{E}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}+\frac{{\mu }_o}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

(3)

ed analogamente per il campo di induzione magnetica:

${\mathrm{\nabla }}^2\overrightarrow{B}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}+\frac{{\mu }_o}{\rho }\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

(4)

Limitiamo le considerazioni al caso unidimensionale di una onda e.m. piana che incide sulla superficie del conduttore in questo caso l'equazione di una delle componenti normali del campo elettrico (eliminiamo il simbolo di vettore) nel conduttore diviene:

$\frac{{\partial }^{2}E}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}+\frac{{\mu }_o}{\rho }\frac{\partial E}{\partial t}$

(5)

Una soluzione possibile vale:

$f(x,t)=A{e}^{j(kx-\omega t)}$

Con $k$ complessa, sostituendo tale soluzione generica nella (5) si ha:

$-k^{2}A{e}^{j(kx-\omega t)}=-\frac{{\omega }^2}{c^2}A{e}^{j(kx-\omega t)}-j\omega \frac{{\mu }_o}{\rho }A{e}^{j(kx-\omega t)}$

$k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}+j\omega \frac{{\mu }_o}{\rho }$

Ponendo $k=k_1+j{k}_2$ si ha:

$k_1^2+2j{k}_1{k}_2-k_2^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}+j\omega \frac{{\mu }_o}{\rho }$

Eguagliando i termini immaginari e reali:

$2k_1{k}_2=\omega \frac{{\mu }_o}{\rho }$

$k_1^2-k_2^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}$

Se:

$\frac{{\omega }^2}{c^2}\ll \omega \frac{{\mu }_o}{\rho }$

$\omega \ll \frac{c^2{\mu }_o}{\rho }$

Praticamente qualsiasi frequenza per conduttori con resistività ragionevolmente bassa, di conseguenza:

$k_1\approx k_2$

$2k_2^2\approx \omega \frac{{\mu }_o}{\rho }$

$k_2=\sqrt{\frac{\omega {\mu }_o}{2\rho }}$

Se chiamiamo lo spessore (skin depth) $\delta =1/k_2$ si ha che:

$\delta =\sqrt{\frac{2\rho }{\omega {\mu }_o}}$

Quindi il campo elettrico all'interno dei conduttori ha l'espressione:

$E(x,t)=E_o{e}^{-x/\delta }{e}^{j(x/\delta -\omega t)}$

(6)

Frequenza	$\delta$ Rame (mm)
60 Hz	8.47
10 kHz	0.66
100 kHz	0.21
1 MHz	0.066
10 MHz	0.021
100 MHz	0.0066

Quindi una onda elettromagnetica che incide normalmente ad un conduttore viene attenuata in maniera esponenziale. In tabella viene dato l'effetto pelle per il conduttore più comune, il rame.

L'effetto pelle non riguarda solo le onde elettromagnetiche, ma anche la corrente elettrica alternata che invece di distribuirsi uniformemente all'interno di un conduttore come avviene in corrente continua si distribuisce in un sottile spessore dell'ordine di grandezza di $\delta$. Per questa ragione ad alte frequenze è inutile utilizzare conduttori pieni e di grande diametro: è solo uno spreco di materiale dato che l'interno non contribuisce alla conduzione, ricorrendo a soluzioni quali le guide d'onda.

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