Fisica classica/Dinamica dei sistemi di punti materiali

Dopo aver studiato la dinamica del punto materiale, estendiamo ora l’analisi a sistemi costituiti da più punti materiali. In tali sistemi possono agire sia forze esterne, esercitate da corpi non appartenenti al sistema, sia forze interne, dovute alle interazioni reciproche tra i punti del sistema stesso.

Ciascun punto materiale sarà quindi soggetto a una forza risultante ${\overrightarrow{F}}_i$. La definizione del sistema è arbitraria: la scelta di quali punti includere dipende dalla descrizione fisica che si desidera ottenere e dalla semplicità dei calcoli.

Forze esterne ed interne

Il principio di azione e reazione per due punti materiali del sistema.

Un esempio di sistema può essere quello del sistema solare: nel sistema vi sono forze che si sviluppano tra i costituenti del sistema ovvero i pianeti. Se restringiamo il sistema alla coppia Terra-Luna vediamo come tra la terra ed il suo satellite vi sono forze interne, ma nel moto complessivo la forza gravitazionale del sole è considerata come forza esterna al sistema. Ma se includiamo il sole nel sistema la forza gravitazionale del sole diventa una forza interna. Quindi alla forza risultante (${\overrightarrow{F}}_i$) che agisce sull'iesimo punto materiale si può separare il contributo dovuto alla risultante delle forze esterne (${\overrightarrow{F}}_i^E$) e quello dovuto alle forze interne ${\overrightarrow{F}}_i^I$:

${\overrightarrow{F}}_i={\overrightarrow{F}}_i^E+{\overrightarrow{F}}_i^I$

Alle forze interne si applica il principio di azione e reazione:

${\overrightarrow{F}}_{ij}=-{\overrightarrow{F}}_{ji}$

cioè la forza dovuta alla j-esima particella agente sulla i-esima particella è eguale ed opposta alla forza dovuta alla i-esima particella agente sulla j-esima particella. La risultante di tutte le forze interne del sistema è quindi:

${\overrightarrow{R}}^I=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i^I=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{F}}_{ij}^I=0i\ne j$

Anche il momento angolare totale (rispetto ad un qualsiasi polo) dovuto alle forze interne è nullo, in quanto le forze interne agiscono tra due particelle lungo la stessa retta di azione.

Grandezze del sistema

In un sistema costituito da $n$ punti materiali, ciascun punto contribuisce alle grandezze fisiche complessive del sistema con le proprie caratteristiche dinamiche. È quindi possibile definire alcune grandezze globali del sistema. La risultante delle forze esterne agenti sul sistema è:

${\overrightarrow{R}}^E=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i^E$

(1)

La quantità di moto totale del sistema è:

$\overrightarrow{P}=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{P}}_i=\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$

(2)

dove $m_i$ è la massa dell’i-esima particella e ${\overrightarrow{v}}_i$ la sua velocità istantanea rispetto al sistema di riferimento scelto.

L’energia cinetica totale del sistema è:

$E_k=\sum _{i=1}^n{E}_{k,i}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$

(3)

Il momento angolare totale rispetto a un polo assegnato è invece:

$\overrightarrow{L}=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{L}}_i=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times m_i{\overrightarrow{v}}_i$

(4)

dove ${\overrightarrow{r}}_i$ è il vettore posizione dell’i-esimo punto materiale rispetto al polo scelto arbitrariamente. Il polo può essere fisso oppure in moto rispetto al sistema di riferimento considerato.

Centro di massa

Centro di massa di un sistema di quattro sfere di massa diversa

Si definisce centro di massa di un sistema di $n$ punti materiali il punto geometrico le cui coordinate sono date da:

${\overrightarrow{r}}_{CM}=\frac{m_1{\overrightarrow{r}}_1+m_2{\overrightarrow{r}}_2+\cdots +m_n{\overrightarrow{r}}_n}{M}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{r}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}$

(5)

dove $M=m_1+m_2+\cdots +m_n$ è la massa totale del sistema e le quantità ${\overrightarrow{r}}_i$ sono i raggi vettori dei singoli punti materiali rispetto al sistema di riferimento scelto.

La posizione del centro di massa può essere interpretata come una media pesata delle posizioni dei punti del sistema: i punti con massa maggiore contribuiscono maggiormente alla sua posizione.

Un esempio è costituito dal Sistema Solare. Considerando come origine un punto esterno al sistema, il centro di massa risulta molto vicino al Sole, che possiede circa il 99,9% della massa complessiva del sistema. In un sistema di coordinate cartesiane le coordinate del centro di massa sono:

$x_{CM}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i}{M}{y}_{CM}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i}{M}{z}_{CM}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{z}_i}{M}$

Le coordinate del centro di massa dipendono dal sistema di riferimento scelto, così come accade per le coordinate di qualsiasi punto materiale.

Se i punti del sistema sono in movimento, anche il centro di massa risulta in generale in movimento. È quindi possibile definire la velocità del centro di massa come:

${\overrightarrow{v}}_{CM}=\frac{d{\overrightarrow{r}}_{CM}}{dt}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{v}}_i}{M}=\frac{\overrightarrow{P}}{M}$

dove:

$\overrightarrow{P}=M{\overrightarrow{v}}_{CM}$

(6)

rappresenta la quantità di moto totale del sistema.

La quantità di moto totale $\overrightarrow{P}$ descrive il moto traslatorio complessivo del sistema. In un sistema che ruota attorno a un punto o a un asse, la quantità di moto totale può essere nulla pur essendo non nulle le quantità di moto dei singoli punti materiali.

Prima equazione cardinale

Le equazioni cardinali della dinamica descrivono il moto globale di un sistema di punti materiali e rappresentano l’estensione delle leggi di Newton ai sistemi estesi.

L'accelerazione del centro di massa è definita come:

${\overrightarrow{a}}_{CM}=\frac{d{\overrightarrow{v}}_{CM}}{dt}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}}{M}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{a}}_i}{M}$

Per ciascun punto materiale del sistema vale la seconda legge della dinamica:

$m_i{\overrightarrow{a}}_i={\overrightarrow{F}}_i$

dove la forza totale agente sul punto può essere scomposta nella somma delle forze esterne e delle forze interne:

${\overrightarrow{F}}_i={\overrightarrow{F}}_i^E+{\overrightarrow{F}}_i^I$

Pertanto:

$m_i{\overrightarrow{a}}_i={\overrightarrow{F}}_i^E+{\overrightarrow{F}}_i^I$

Sommando membro a membro su tutti i punti materiali del sistema si ottiene:

$\sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{a}}_i=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i^E+\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i^I$

Poiché le forze interne si compensano a coppie in virtù del terzo principio della dinamica,

$\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i^I=0$

e quindi:

$M{\overrightarrow{a}}_{CM}=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{F}}_i^E={\overrightarrow{R}}^E$

da cui segue:

$M{\overrightarrow{a}}_{CM}={\overrightarrow{R}}^E$

(7)

Questa relazione è detta prima equazione cardinale della meccanica e rappresenta l'estensione della seconda legge della dinamica al caso di un sistema di punti materiali.

Conservazione della quantità di moto

Un esempio approssimativo di conservazione della quantità di moto è il pendolo di Newton. Durante gli urti tra le sfere, l’intervallo di tempo della collisione è molto breve e l’impulso delle forze esterne può essere considerato trascurabile rispetto a quello delle forze interne. In tali condizioni la quantità di moto totale lungo la direzione orizzontale si conserva con buona approssimazione.

Se il sistema è isolato, cioè se la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla, dalla prima equazione cardinale segue che l'accelerazione del centro di massa è nulla:

${\overrightarrow{a}}_{CM}=0$

Di conseguenza la velocità del centro di massa rimane costante nel tempo e quindi anche la quantità di moto totale del sistema si conserva:

$\overrightarrow{P}=M{\overrightarrow{v}}_{CM}=\text{costante}$

Questo non implica che le singole parti del sistema siano ferme. Nell'esempio mostrato in figura, la quantità di moto viene trasferita da una sfera alla successiva: la sfera che urta la catena trasmette il proprio impulso attraverso le sfere intermedie fino all'ultima sfera.

In assenza di forze esterne, il centro di massa di un sistema si muove quindi di moto rettilineo uniforme. Le forze interne possono modificare il moto relativo tra le parti del sistema, ma non possono alterare la quantità di moto totale.

Poiché la massa totale del sistema è costante, dalla relazione precedente segue anche che la velocità del centro di massa resta costante.

Il caso dei sistemi a massa variabile, come i sistemi di propulsione dei mezzi a reazione, richiede invece una trattazione più generale, poiché la massa del sistema considerato cambia nel tempo.

Un caso particolarmente importante in cui si applica la conservazione della quantità di moto è quello degli urti. Durante un urto le forze interne, molto intense e di breve durata, risultano predominanti rispetto alle forze esterne; per questo motivo, nell'intervallo di tempo in cui avviene la collisione, la quantità di moto totale del sistema può essere considerata conservata.

Momento angolare

Nello studio della dinamica del punto materiale è stato introdotto il concetto di momento angolare. Tale grandezza assume però particolare importanza nello studio dei sistemi di punti materiali, specialmente nell’analisi dei moti rotatori dei corpi.

Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali, rispetto a un polo fissato, è definito come:

$\overrightarrow{L}=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{L}}_i=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times m_i{\overrightarrow{v}}_i$

dove ${\overrightarrow{r}}_i$ è il vettore posizione dell’i-esimo punto materiale rispetto al polo scelto e $m_i{\overrightarrow{v}}_i$ è la sua quantità di moto.

Consideriamo ora il momento risultante delle forze agenti sul sistema rispetto allo stesso polo. Separando il contributo delle forze esterne da quello delle forze interne, si definisce il momento totale delle forze esterne:

${\overrightarrow{\tau }}^E=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i^E$

e il momento totale delle forze interne:

${\overrightarrow{\tau }}^I=\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i^I$

Nel caso in cui le forze interne soddisfino il terzo principio della dinamica nella forma forte, cioè siano uguali, opposte e dirette lungo la congiungente dei punti che interagiscono, il momento totale delle forze interne risulta nullo:

${\overrightarrow{\tau }}^I=0$

Infatti, le forze interne agiscono a coppie lungo la stessa direttrice e producono momenti uguali e opposti rispetto a qualunque polo scelto. Di conseguenza, il momento risultante delle sole forze interne si annulla identicamente.

Seconda equazione cardinale

Se deriviamo il momento angolare totale rispetto al tempo:

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}\times m_i{\overrightarrow{v}}_i+\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times m_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}\times m_i{\overrightarrow{v}}_i+\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i^E+\sum _{i=1}^n{\overrightarrow{r}}_i\times {\overrightarrow{F}}_i^I$

L'ultimo termine è il momento delle forze interne che abbiamo visto essere nullo, quindi:

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\sum _{i=1}^n\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}\times m_i{\overrightarrow{v}}_i+{\overrightarrow{\tau }}^E$

Se il polo è fisso cioè se la sua velocità rispetto al sistema di riferimento è nulla si ha che: $\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}\equiv {\overrightarrow{v}}_i$ e quindi il primo termine è nullo. Se invece il polo si muove con velocità ${\overrightarrow{v}}_O$ allora:

$\frac{d{\overrightarrow{r}}_i}{dt}={\overrightarrow{v}}_i-{\overrightarrow{v}}_O$

In tale caso:

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\sum _{i=1}^n({\overrightarrow{v}}_i-{\overrightarrow{v}}_O)\times m_i{\overrightarrow{v}}_i+{\overrightarrow{\tau }}^E=-{\overrightarrow{v}}_O\times \sum _{i=1}^n{m}_i{\overrightarrow{v}}_i+{\overrightarrow{\tau }}^E==-{\overrightarrow{v}}_O\times \overrightarrow{P}+{\overrightarrow{\tau }}^E=-M{\overrightarrow{v}}_O\times {\overrightarrow{v}}_{CM}+{\overrightarrow{\tau }}^E$

(8)

questa è detta la seconda equazione cardinale.

Nel caso di un polo fisso o coincidente con il centro di massa tale equazione si semplifica in:

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}={\overrightarrow{\tau }}^E$

(9)

cioè la derivata del momento angolare del sistema è pari al momento totale delle sole forze esterne.

Conservazione del momento angolare

File:BehoudImpulsmoment.ogv Il momento angolare totale si conserva quando il momento risultante delle forze esterne rispetto al polo considerato è nullo. Questa condizione si verifica quando il polo scelto è fisso oppure coincide con il centro di massa del sistema.

In questi casi, l'equazione cardinale si riduce a:

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=0$

Un esempio classico di questo principio è mostrato nella figura a lato: una persona è seduta su uno sgabello girevole, isolata dall'esterno, e tiene in mano una ruota in rotazione (che possiede quindi un elevato momento angolare). Se la persona tenta di orientare diversamente l'asse di rotazione della ruota tramite forze interne, per compensazione e in virtù della conservazione del momento angolare totale, l'intero supporto inizierà a ruotare nel verso opposto.

Un altro esempio fondamentale è il moto centrale, come quello di una cometa in orbita ellittica attorno al Sole. Poiché la forza di attrazione è costantemente diretta verso il centro della stella, il momento delle forze esterne rispetto al Sole è nullo. Di conseguenza, il momento angolare si conserva: la velocità della cometa aumenta notevolmente nei pressi del perielio (la massima vicinanza al Sole) e diminuisce drasticamente man mano che essa si allontana verso l'afelio (la massima distanza dal sole).

Relazione tra momento delle forze, energia e potenza

Così come una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione, in modo analogo il momento di una forza compie lavoro quando produce uno spostamento angolare. Se un momento agisce su un punto materiale lungo una traiettoria circolare, portandolo da un angolo iniziale ${\theta }_1$ a un angolo finale ${\theta }_2$, il lavoro W compiuto rispetto al centro di rotazione è espresso da:

$W={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\tau \mathrm{d}\theta$

Questo concetto risulta particolarmente evidente nel caso in cui il momento sia generato da una coppia di forze (ovvero due forze uguali e opposte, con risultante nulla) applicata a un sistema di punti materiali in rotazione attorno a un centro comune. In base al teorema dell'energia cinetica (o teorema delle forze vive), l'espressione appena descritta quantifica esattamente la variazione di energia cinetica rotazionale del sistema:

$\mathrm{\Delta }{E}_K={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\tau \mathrm{d}\theta$

La potenza $P$ rappresenta il lavoro compiuto nell'unità di tempo. Derivando il lavoro rispetto al tempo, si ottiene la relazione generale per la potenza istantane nel moto rotatorio:

$P=\overrightarrow{\tau }\cdot \overrightarrow{\omega }$

Questa formula mostra un'evidente e perfetta analogia con la potenza di una forza nel moto traslatorio ($P=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}$).

Sistema di riferimento del centro di massa

Nella dinamica dei sistemi di punti materiali, si definisce sistema di riferimento del centro di massa un sistema di riferimento solidale con il centro di massa e avente le seguenti caratteristiche:

• L'origine degli assi coincide in ogni istante con il centro di massa del sistema.
• Gli assi mantengono l'orientazione spaziale sempre parallela a quella di un sistema di riferimento inerziale esterno.
• Costituisce un sistema di riferimento inerziale se e solo se la risultante delle forze esterne agenti sul sistema è nulla (ovvero se il centro di massa non accelera).

Il moto di questo sistema di riferimento rispetto a quello inerziale esterno è puramente traslatorio; se l'accelerazione del centro di massa è nulla, tale moto è rettilineo uniforme. Nello studio degli urti, poiché le forze impulsive interne sono di ordini di grandezza superiori rispetto alle forze esterne (che diventano così trascurabili nell'intervallo di tempo dell'impatto), il sistema del centro di massa può essere approssimato a un sistema inerziale per l'intera durata dell'evento.

Indicando con un apice (') le grandezze relative al sistema del centro di massa e senza apice quelle del sistema inerziale parallelo, la posizione e la velocità del generico elemento i-esimo del sistema sono legate dalle trasformazioni di Galileo:

${\overrightarrow{r}}_i=\overrightarrow{r}{\text{'}}_i+{\overrightarrow{r}}_{CM}$

${\overrightarrow{v}}_i=\overrightarrow{v}{\text{'}}_i+{\overrightarrow{v}}_{CM}$

Per definizione, nel proprio sistema di riferimento la posizione e la velocità del centro di massa sono nulle ($\overrightarrow{r}{\text{'}}_{CM}=0$ e $\overrightarrow{v}{\text{'}}_{CM}=0$). Poiché l'espressione generale della velocità del centro di massa (valida in qualunque sistema) è pari a:

$\overrightarrow{v}{\text{'}}_{CM}=\frac{\sum m_i\overrightarrow{v}{\text{'}}_i}{\sum m_i}=0$

Si deduce immediatamente che:

$\sum m_i\overrightarrow{v}{\text{'}}_i=0$

Di conseguenza, la quantità di moto totale nel sistema di riferimento del centro di massa è sempre nulla (${\overrightarrow{P}}^{\prime }=0$), anche se le quantità di moto dei singoli elementi $m_i\overrightarrow{v}{\text{'}}_i$ sono in generale diverse da zero.

Il moto del sistema di riferimento del centro di massa è solo traslatorio, inoltre se l'accelerazione del centro di massa è nulla il moto è rettilineo uniforme. Nello studio dell'urto in cui le forze impulsive interne rendono trascurabili le forze esterne il sistema di riferimento del centro di massa si considera un sistema inerziale nel momento dell'urto.

Per quanto riguarda la dinamica rotazionale, la scelta del centro di massa come polo offre notevoli vantaggi matematici. Poiché le forze interne si annullano a coppie per il terzo principio della dinamica, solo le forze esterne contribuiscono al momento totale. Inoltre, anche se il sistema del centro di massa fosse non inerziale (cioè accelerato), la seconda equazione cardinale della meccanica mantiene inalterata la sua forma standard senza richiedere l'introduzione di momenti delle forze apparenti:

$\frac{d{\overrightarrow{L}}^{\prime }}{dt}=\overrightarrow{\tau }{\text{'}}^E$

Teoremi di König

teoremi di König permettono di separare, nel moto di un sistema di particelle, la parte dovuta al moto del centro di massa da quella relativa al moto interno rispetto al centro di massa.

In particolare:

• il primo teorema riguarda il momento angolare;
• il secondo teorema riguarda l’energia cinetica.

La parte del moto associata al centro di massa può essere modificata soltanto da forze e momenti esterni.

Primo teorema di König

Il primo teorema di König, dovuto a J. S. König, afferma che: Il momento angolare totale di un sistema è uguale alla somma del momento angolare del centro di massa e del momento angolare relativo al centro di massa.

Possiamo quindi scrivere in forma compatta:

$\overrightarrow{L}={\overrightarrow{L}}^{\prime }+{\overrightarrow{L}}_{CM}$

(10)

dove:

• ${\overrightarrow{L}}^{\prime }$ è il momento angolare rispetto al centro di massa;
• ${\overrightarrow{L}}_{CM}$ è il momento angolare dovuto al moto del centro di massa.

Secondo teorema di König

Il secondo teorema di König riguarda l’energia cinetica e afferma che:

L’energia cinetica totale di un sistema è uguale alla somma dell’energia cinetica del centro di massa e dell’energia cinetica relativa al centro di massa.

Inoltre, l’energia cinetica misurata nel sistema del centro di massa è la minima possibile.

Possiamo scrivere in forma compatta:

$E_k=E_{k,CM}+E_k^{{}^{\prime }}$

(11)

ovvero che l'energia cinetica di un sistema è la somma dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa e di quella rispetto ad esso.

Teorema dell’energia cinetica

Per un sistema di punti materiali, l’energia cinetica totale è pari alla somma delle energie cinetiche di tutte le particelle che compongono il sistema:

$E_k=\sum _i\frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2$

Nel caso di un singolo punto materiale, il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro totale compiuto dalle forze agenti sul corpo è uguale alla variazione della sua energia cinetica:

$W=\mathrm{\Delta }{E}_k$

Per un sistema di punti materiali, invece, occorre distinguere tra:

• lavoro compiuto dalle forze esterne;
• lavoro compiuto dalle forze interne.

Le forze interne possono infatti compiere lavoro quando varia la posizione reciproca delle particelle del sistema. Il teorema dell’energia cinetica per un sistema di punti assume quindi la forma generale:

$W^E+W^I=\mathrm{\Delta }{E}_k$

dove:

• $W^E$ è il lavoro delle forze esterne;
• $W^I$ è il lavoro delle forze interne;
• $\mathrm{\Delta }{E}_k$ è la variazione dell’energia cinetica totale del sistema.

Conservazione dell’energia meccanica

Se tutte le forze agenti sul sistema, sia interne sia esterne, sono conservative, allora il lavoro totale può essere espresso tramite la variazione dell’energia potenziale.

In questo caso l’energia meccanica totale del sistema si conserva:

$E_M=E_k+E_p=\text{costante}$

oppure equivalentemente:

$\mathrm{\Delta }(E_k+E_p)=0$

dove:

• $E_k$ è l’energia cinetica totale;
• $E_p$ è l’energia potenziale totale;
• $E_M$ è l’energia meccanica del sistema.

Presenza di forze non conservative

Se nel sistema agiscono anche forze non conservative, il loro lavoro produce una variazione dell’energia meccanica:

$W_{nc}=\mathrm{\Delta }{E}_M$

dove:

• $W_{nc}$ rappresenta il lavoro delle forze non conservative;
• $\mathrm{\Delta }{E}_M$ è la variazione dell’energia meccanica del sistema.

In tal caso l’energia meccanica non si conserva, poiché parte dell’energia può trasformarsi, ad esempio, in energia termica o in altre forme di energia interna.

Riepilogo del capitolo

• Quantità di moto:

$\overrightarrow{P}=M{\overrightarrow{v}}_{CM}$

• Prima equazione cardinale:

${\overrightarrow{R}}^{est}=M{\overrightarrow{a}}_{CM}$

• Seconda equazione cardinale:

$\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}={\overrightarrow{\tau }}^E$

• Primo teorema di König:

$\overrightarrow{L}={\overrightarrow{L}}^{\prime }+{\overrightarrow{L}}_{CM}$

• Secondo teorema di König:

$E_k=E{\text{'}}_k+E_{k,CM}$

• Teorema dell’energia cinetica:

$W^{est}+W^{int}=\mathrm{\Delta }{E}_k$

Bibliografia

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