Fisica matematica/Vettori tangenti

Template:Fisica matematica Sia $M$ una varietà. Si può definire un vettore tangente ad $M$ in tre modi differenti. Si può provare che queste definizioni sono tra loro equivalenti.

Prese due curve qualsiasi $\gamma$ e ${\gamma }^{\prime }$ introduciamo la seguente relazione di equivalenza:

$\gamma \sim {\gamma }^{\prime }\leftrightarrow \{\begin{array}{c}\gamma (0)={\gamma }^{\prime }(0)\\ \frac{d}{dt}(f\circ \gamma )(0)=\frac{d}{dt}(f\circ {\gamma }^{\prime })(0),\mathrm{\forall }f\in 𝔉(M)\end{array}$

Definizione 1

Un vettore tangente in $p\in M$ è una classe di equivalenza $[\gamma ]$ di curve basate in $p$, cioè una classe di equivalenza tale che $\mathrm{\forall }{\gamma }^{\prime }\in [\gamma ],{\gamma }^{\prime }(0)=p$

Definizione 2

Un vettore tangente in $p\in M$ è una derivazione sulle funzioni differenziabili:

$v:𝔉(M)\to 𝔉(M):f\to v(f)$

lineare che soddisfa la regola di Leibniz, cioè $\mathrm{\forall }f,g\in 𝔉(M)$:

$\{\begin{array}{c}v(f+g)=v(f)+v(g)\\ v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g)\end{array}$

Definizione 3

Un vettore tangente nel punto $p\in M$ è una classe di equivalenza di terne $(U,x^i,v^i)$, dove $(U,x^i)$ è una carta locale, rispetto alla relazione di equivalenza:

$(U,x^i,v^i)\sim (U^{\prime },x{\text{'}}^{i^{\prime }},v{\text{'}}^{v^{\prime }})\leftrightarrow v{\text{'}}^{i^{\prime }}={\left(\frac{\partial x{\text{'}}^{i^{\prime }}}{\partial x^i}\right)}_p{v}^i$