Fisica moderna/Esperimento di Millikan

Dopo gli esperimenti di Thomson e Zeeman si conosce la natura dei raggi catodici e si ha una misura del rapporto $\frac{q}{m}$ proprio delle particelle che li costituiscono. Tuttavia non è ancora possibile conoscere i valori di $q$ e $m$ separatamente. Questo obiettivo viene raggiunto da Millikan nel 1909 tramite l'esperimento che ora descriveremo.

Apparato sperimentale

• Goccioline d'olio nebulizzate, osservabili tramite microscopio, di dimensioni dell'ordine del micron ($\mu m=1\cdot 10^{6}m$);
• condensatore con armature distanti $L$;
• sorgente ionizzante.

Descrizione esperimento

Inizialmente il campo elettrico non viene acceso. Scegliamo un riferimento verticale orientato verso il basso. Quando la gocciolina d'olio inizia a cadere è sottoposta a 3 forze:

• la forza peso, diretta verso il basso, $F_p=mg$;
• la forza di Archimede, diretta verso l'alto, $F_a=m^{\prime }g$;
• la forza di attrito viscoso, o forza di Stokes, diretta secondo la stessa direzione ma in verso opposto rispetto alla velocità, $F_s=6\pi \nu R{v}_g$, in questo caso verso l'alto.

Ricordiamo che:

• la massa $m^{\prime }$ che compare nell'espressione della forza di Archimede è la massa corrispondente al volume d'aria spostato dalla gocciolina;
• la velocità $v_g$ che compare nella forza di attrito viscoso è la velocità di regime: raggiunta tale velocità il moto della gocciolina diventa uniforme, in quanto le forze si bilanciano. $v_g$ viene raggiunta in un tempo di $\approx 40\mu s$, dunque possiamo considerare le velocità misurate come di regime.

Misurando le velocità di caduta è possibile ricavare il raggio della gocciolina d'olio. Infatti l'equazione del moto è:

$\begin{array}{c}mg-m^{\prime }g-6\pi \nu R{v}_g=0\\ \frac{4}{3}\pi R^3{\rho }_{olio}g-\frac{4}{3}\pi R^3{\rho }_{aria}g-6\pi \nu R{v}_g=0\\ \frac{4}{3}\pi R^3({\rho }_{olio}-{\rho }_{aria})g=6\pi \nu R{v}_g\\ v_g=\frac{2}{9}{R}^{2}g\frac{({\rho }_{olio}-{\rho }_{aria})}{\nu }\end{array}$

Dopo aver determinato secondo questo metodo il raggio delle goccioline si accende il campo elettrico. La gocciolina ionizzata per effetto del campo risale verso l'alto. Riscriviamo le equazioni del moto tenendo presente che ora agisce la forza $F_e=qE$ verso l'alto e che la forza di Stokes, poiché ora la velocità è verso l'alto, agisce verso il basso.

$\begin{array}{c}mg-m^{\prime }g+6\pi \nu R{v}_e-qE=0\end{array}$

Dai calcoli svolti precedentemente possiamo inoltre scrivere:

$\begin{array}{c}mg-m^{\prime }g=6\pi \nu R{v}_g\end{array}$

Dunque si ha:

$\begin{array}{c}6\pi \nu R(v_g+v_e)=qE\end{array}$

Dalla misura della velocità $v_e$, e conoscendo E tramite il potenziale applicato e la distanza tra le armature ($E=\frac{V}{d}$), si ricava quindi il valore della carica $q$:

$q=\frac{6\pi \nu R(v_g+v_e)}{E}$

In realtà Millikan non ottiene misure dirette della velocità ma misura i tempi di caduta, da cui:

$q=\frac{6\pi \nu RL(\frac{1}{t_g}+\frac{1}{t_e})}{E}$

L'ulteriore, importantissima, scoperta di Millikan è che i valori di tali cariche sono tutti multipli interi di una quantità costante, $e$, che egli riesce a misurare.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}q=ne=\frac{6\pi \nu RL(\frac{1}{t_g}+\frac{1}{t_e})}{E}\\ q^{\prime }=n^{\prime }e=\frac{6\pi \nu RL(\frac{1}{t_g}+\frac{1}{t{\text{'}}_e})}{E}\end{array}{q}^{\prime }-q=\frac{6\pi \nu RL(\frac{1}{t{\text{'}}_e}-\frac{1}{t_e})}{E}=(n^{\prime }-n)e\end{array}$

Ottiene che il valore di questa carica elettrica e è:

$\begin{array}{c}e=1.591\cdot 10^{-19}C\end{array}$

Questo valore viene quindi assunto come quello di carica elementare ovvero la carica del singolo elettrone.

Osservazioni

Rispetto al valore oggi accertato ($e=1.602176565(35)\cdot 10^{-19}C$) il risultato di Millikan è sottostimato. Questo è dovuto a un errore nella stima del coefficiente di viscosità dell'aria.