Fisica moderna/Modello di Rayleigh-Jeans

Rayleigh e Jeans modellizzano il corpo nero come una cavità isoterma cubica con pareti conduttrici. All'interno della cavità la radiazione termica è radiazione elettromagnetica, governata dalle leggi dell'elettromagnetismo. Gli elettroni delle pareti vengono messi in oscillazione dalle onde incidenti e, comportandosi come oscillatori elementari, re-irradiano alla stessa frequenza: in questo modo le radiazioni vengono costantemente assorbite e riemesse dalle pareti. La cavità geometrica impone precise condizioni al contorno per il campo elettromagnetico, perciò all'interno di essa si instaurano onde elettromagnetiche stazionarie: non tutte le frequenze di oscillazione sono ammesse.

Il primo importante risultato dei due scienziati, che è poi la parte corretta del modello che verrà ripresa da Planck, è la stima del numero di modi di oscillazione. L'equazione dell'onda stazionaria si ottiene imponendo le condizioni al contorno all'equazione d'onda generica in 3 dimensioni.

$\begin{array}{c}\mathbf{\text{𝐄}}=\mathbf{\text{𝐄}}(x,y,z,t)\end{array}$ $\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial t^2}\\ \frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{E}_y}{\partial t^2}\\ \frac{{\partial }^2{E}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{E}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{E}_z}{\partial z^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2{E}_z}{\partial t^2}\end{array}\\ \begin{array}{c}\\ E_x=0& y=0,L& \wedge & z=0,L\\ E_y=0& x=0,L& \wedge & z=0,L\\ E_z=0& x=0,L& \wedge & y=0,L\end{array}\end{array}$

La soluzione di questo problema è:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{E}_x=E_{0x}\cos \frac{n_1\pi x}{L}\sin \frac{n_2\pi y}{L}\sin \frac{n_3\pi z}{L}\sin 2\pi \nu t\\ E_y=E_{0y}\cos \frac{n_1\pi x}{L}\sin \frac{n_2\pi y}{L}\sin \frac{n_3\pi z}{L}\sin 2\pi \nu t\\ E_z=E_{0z}\cos \frac{n_1\pi x}{L}\sin \frac{n_2\pi y}{L}\sin \frac{n_3\pi z}{L}\sin 2\pi \nu t\end{array}\end{array}$

Consideriamo ora la sola componente $E_x$, per le altre si procede in modo analogo. Sostituendo l'espressione di $E_x$ nell'equazione d'onda, otteniamo che le frequenze permesse sono quelle che rispettano la condizione:

$\begin{array}{cc}-[{\frac{n_1\pi }{L}}^2+{\frac{n_2\pi }{L}}^2+{\frac{n_3\pi }{L}}^2]E_x& =\frac{-1}{c^2}(2\pi \nu {)}^2{E}_x\end{array}$ $\begin{array}{cc}\nu & =\frac{c}{2L}\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}\end{array}$

L'ultima equazione descrive una sfera nello spazio individuato dagli assi $n_1,n_2,n_3$, di cui consideriamo l'ottante (cioè $\frac{1}{8}$ di sfera)in cui le tre variabili sono positive. Ogni punto di questo spazio individua un modo di oscillazione (un punto è una terna $(n_1,n_2,n_3)$, ossia una frequenza $\nu$ ). I volumi infinitesimi in questo spazio sono quindi misure di densità di modi.

Ora cambiamo le coordinate:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{cccc}{R}_{sfera}& =R& =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}& =\frac{2L}{c}\nu \\ dR& =\frac{2L}{c}d\nu \end{array}\end{array}$

Calcoliamo il volume del guscio di ottante compreso tra $R$ e $R+dR$.

$\begin{array}{cc}{V}_{ottante}& =\frac{1}{8}4\pi R^{2}dR\\ & =\frac{1}{8}4\pi (\frac{2L}{c}\nu {)}^2\frac{2L}{c}d\nu \\ & =\frac{4\pi {\nu }^2}{c^3}{L}^{3}d\nu \\ & =\frac{4\pi V_{cavit}}{c^3}{\nu }^{2}d\nu \end{array}$

Considerando poi i due possibili modi di polarizzazione dell'onda, ottengo l'espressione per la densità dei modi di oscillazione:

$\begin{array}{c}G(\nu )d\nu =\frac{8\pi V_{cavit}}{c^3}{\nu }^{2}d\nu \end{array}$

Fino a qui, il modello di Rayleigh-Jeans è corretto. A questo punto si vuole determinare la densità di energia per unità di frequenza e di volume.

$\begin{array}{c}{U}_{\nu }d\nu =G(\nu )d\nu \cdot (energiamodo)\cdot \frac{1}{V}\end{array}$

A tal fine occorre trovare un'espressione per l'energia di ciascun modo, ed è qui la scelta errata dei due scienziati. Essi la stimano pensando non all'energia trasportata da un'onda stazionaria ma all'energia degli oscillatori nella parete, che ricavano dal principio di equipartizione classica. Ogni modo di oscillazione ha quindi energia media pari a $kT$. Dunque:

$\begin{array}{c}{U}_{\nu }d\nu =\frac{8\pi }{c^3}{\nu }^{2}kTd\nu \end{array}$

Passando alle lunghezze d'onda:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\nu =\frac{c}{}\\ d\nu =\frac{-c}{{}^2}d\end{array}\end{array}$ $\begin{array}{c}{U}_{\nu }d\nu =\frac{8\pi }{{}^4}kTd\end{array}$

Il problema è che l'energia diverge per $0$ anzichè andare a 0 come nella curva sperimentale: si parla di catastrofe ultravioletta. Per λ grandi invece il modello si adatta alla curva: in questa situazione l'interpretazione classica va bene.