Fisica nucleare e subnucleare/Collisioni

Quando parliamo di collisioni intendiamo generalmente che due particelle $a$ e $b$ interagiscono fra loro, dando luogo a uno stato finale diverso da quello iniziale; ad esempio:

$a+b⟶c+d$

Lo stato iniziale è completamente noto, mentre quello finale è caratterizzato da quello che vogliamo o possiamo conoscere (come l'impulso delle particelle, o gli angoli fra le loro direzioni di volo). In altri tipi di processi, può accadere che lo stato iniziale sia composto da una sola particella:

$a⟶ba⟶c+d$

Questo tipo di reazioni sono i decadimenti; generalmente, $a$ è in quiete nel laboratorio (ma non è detto, se per esempio pensiamo al fatto che nei raggi cosmici le particelle che decadono si muovono a velocità molto elevate).

Collisioni a targhetta fissa

Le due entità che entrano in gioco sono:

• fascio: sono le particelle entranti, le cui grandezze caratteristiche sono:
  • $I_b$: l'intensità del fascio, ossia il numero di particelle che arrivano al bersaglio nell'unità di tempo
  • ${\phi }_b$: il flusso, ossia l'intensità per unità di superficie
• targhetta: è il bersaglio fisso, caratterizzato da:
  • $n_t$: numero di centri di scattering per unità di volume
  • $N_t$: numero di centri di scattering diviso l'area del fascio

Ciò che ci interessa è calcolare il rate d'interazione:

$R=\frac{dN}{dt}$

che è il numero di interazioni che avvengono per unità di tempo. Si ha:

$R=N_t{\phi }_b\sigma$

ove $\sigma$ è la sezione d'urto. In modo intuitivo (poi ci ritorneremo in maggior dettaglio), $\sigma$ è una "sovrapposizione" dell'area del fascio e della sezione trasversale della targhetta. Spesso si scrive anche:

$R=W{N}_t\text{ossia}W={\phi }_b\sigma$

ove $W$ è il rate per singola particella del fascio. Non stiamo però tenendo conto che, se avvengono interazioni, il flusso ${\phi }_b$ non può essere costante nella targhetta. Come varia dunque il flusso?

Indichiamo la variazione di rate con d $d{R}_i$. Si ha:

$d{R}_i=-d{I}_b(z)$

e inoltre:

${\phi }_b=\frac{I_b}{\mathrm{\Sigma }}\Rightarrow d{R}_i=\sigma {\phi }_{b}d{N}_t=\sigma \frac{I_b}{\mathrm{\Sigma }}\underset{d{N}_t}{\underbrace{n_t\mathrm{\Sigma }dz}}$

Quindi:

$d{R}_i=\sigma I(z)n_{t}dz\Rightarrow dI(z)=-\sigma I(z)n_{t}dz\Rightarrow I(z)=I_0{e}^{-\sigma n_{t}z}$

e dunque il flusso all'interno della targhetta diminuisce esponenzialmente con $\sigma$, $n_t$ e $z$. Riferendosi al fascio, si definisce la lunghezza d'assorbimento come quella lunghezza dove $I=I_0/e$:

$\frac{I_0}{e}=I_0{e}^{-\sigma n_t{L}_{\text{ass }}}\Rightarrow L_{\text{ass }}=\frac{1}{\sigma n_t}$

Spesso (anche se non proprio in questo caso) è di interesse la luminosità del fascio, definita come:

$ℒ=\frac{R}{\sigma }=N_t{\phi }_b=N_t\frac{I_b}{\mathrm{\Sigma }}$

Collider

Chiamiamo i fasci collidenti 1 e 2. I fasci dei collider sono costituiti da "pacchetti" di particelle, disposti in "bunch"; i fasci, insomma, non sono "fiotti" di particelle, e hanno una struttura temporale. Il motivo per cui i fasci vengono costruiti "a pacchetti" è che in questo modo si controllano meglio.

Si può dimostrare (non lo facciamo, perché non è semplice), che la distribuzione di particelle in un bunch è data da:

$\frac{d{n}_{1,2}}{ds}=\frac{n_{1,2}}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}{e}^{-(\frac{x^2}{2{\sigma }_x^2}+\frac{y^2}{2{\sigma }_y^2})}$

cioè il fascio ha una distribuzione gaussiana (in realtà questa è un'approssimazione) nelle direzioni trasversali $x$ e $y$; le due gaussiane (quella in $x$ e quella in $y$) non sono però "larghe" uguali, in genere (ossia ${\sigma }_x\ne {\sigma }_y$). Pertanto il numero di particelle nell'area $dxdy$ è:

$d{n}_{1,2}(x,y)=\frac{n_{1,2}}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}{e}^{-(\frac{x^2}{2{\sigma }_x^2}+\frac{y^2}{2{\sigma }_y^2})}dxdy$

e la probabilità di interazione di una particella del fascio 1 col fascio 2 è:

$P(x,y)=\frac{n_2}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}{e}^{-(\frac{x^2}{2{\sigma }_x^2}+\frac{y^2}{2{\sigma }_y^2})}{\sigma }_{\text{int }}$

ove ${\sigma }_{\text{int }}$ è la sezione d'urto d'interazione. Pertanto, il numero totale di interazioni sarà:

$N_{\text{int }}=\int d{n}_1(x,y)P(x,y)={\sigma }_{\text{int }}\frac{n_1{n}_2}{4{\pi }^2{\sigma }_x^2{\sigma }_y^2}\int e^{-(\frac{x^2}{2{\sigma }_x^2}+\frac{y^2}{2{\sigma }_y^2})}dxdy={\sigma }_{\text{int }}\frac{n_1{n}_2}{4\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}$

Vediamo dunque che più stretto è il fascio (${\sigma }_x,{\sigma }_y\sim 0$) maggiori sono le interazioni che avvengono. In questo caso, il rate sarà:

$R=\frac{n_1{n}_2}{4\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}\frac{{\sigma }_{\text{int }}}{k}f$

ove $k$ è il numero di pacchetti (le interazioni infatti avvengono se i pacchetti "si beccano") e $f$ è la frequenza con cui si incontrano i pacchetti (ricordiamoci infatti che i fasci hanno una frequenza di rivoluzione, sono cioè periodici). Sappiamo anche che si può scrivere $R={\sigma }_{\text{int }}ℒ$, e dunque:

$ℒ=\frac{R}{{\sigma }_{\text{int }}}=\frac{n_1{n}_2}{4\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}\frac{f}{k}$

Le interazioni fascio-fascio sono molto poche, e possiamo trascurarle per quanto riguarda l'effetto su $ℒ$: ciò che fa degradare $ℒ$ sono le interazioni con le molecole residue nel collider (il vuoto che viene fatto per far funzionare il collider non è mai perfetto) e con i rivelatori. Queste determinano una diminuzione della luminosità, insomma. Si può dimostrare (non lo vediamo) che in funzione del tempo la luminosità segue la legge:

$ℒ(t)=\frac{{ℒ}_0}{1+\frac{n{ℒ}_0{\sigma }_{\text{int }}}{BN}t}$

ove $B$ è il numero di bunch, $n$ il numero di materiali che incontra il fascio, $N$ il numero di particelle e ${ℒ}_0$ la luminosità iniziale (in generale si assume $n_1\approx n_2$). Con gli attuali collider, dopo circa 24 ore conviene fare una re-iniezione del fascio, perché la luminosità è diventata troppo bassa.

Ora, sappiamo che $W$ è il rate di interazione per unità di particella. Nel caso dei collider, dunque, sarà ancora pari a $\sigma {\phi }_b$. Fermi per primo mostrò che:

$W=2\pi |M_{fi}{|}^2\rho (E)$

ove ($n$ è il numero di stati finali e $\overrightarrow{P}$ l'impulso totale):

$\rho (E)=(2\pi {)}^4\int \prod _{i=1}^n\frac{d^3{P}_i}{(2\pi {)}^{3}2E_i}\delta (\sum _i{E}_i-E){\delta }^{(3)}(\sum _i{\overrightarrow{p}}_i-\overrightarrow{P})$

è il volume nello spazio delle fasi relativistico (degli stati finali). Tutto questo si basa sul fatto che il modulo della funzione d'onda non è un invariante relativistico (così come il volume), mentre il modulo della funzione d'onda diviso per l'energia è un invariante relativistico (è il motivo della forma di $\rho$ ). Ciò che invece descrive l'interazione è $|M_{fi}{|}^2$, il modulo quadro dell'elemento di matrice dell'operatore che consente la transizione fra stato iniziale e finale:

$M_{fi}=⟨f|H_i|i⟩$

e si dimostra che $H_i$ la possiamo scrivere come somma di parte relativa al centro di massa e di moto relativo al centro di massa.

Sperimentalmente, noi misuriamo $\sigma$, e sappiamo che $\sigma$ è collegata, con la teoria, allo spazio delle fasi ($\rho$) e all'elemento di matrice ($M$), che deriva dal modello. Insomma:

$\text{misuro }\sigma \Rightarrow \text{calcolo }\rho \Rightarrow \text{valuto }{M}_{fi}\Rightarrow \text{verifico l'accordo fra teoria ed esperimento}$

Ciò che ci proponiamo di capire in questo corso è come abbiamo fatto a trarre informazioni sulla composizione della materia a partire dagli esperimenti che sono stati condotti nel corso dei decenni.